Taylorreihe von (1+x)^α um x=0, wobei α ∈ℝ berechnen

Question

Berechne die Taylorreihe von (1+x)^α um x=0, wobei α ∈ℝ. Hinweis: Das Ergebnis lässt sich schön in der Form

$$ \sum _{ n\ge 0 } \left( _{ n }^{ \alpha  } \right) { x }^{ n } $$

schreiben, mit $$ \left( _{ n }^{ \alpha  } \right) =\frac { \alpha \cdot (\alpha -1)...(\alpha -n+1) }{ n! } =\frac { \alpha ! }{ n!(\alpha -n)! }  $$

Answer 1

Finde ich auch schön, und was ist Dein Problem?

Comments

Schonmal gut, dass du das auch schön findest :)

Mein Problem ist, dass ich den Einstieg in die Aufgabe nicht finden kann, bzw. was ich nun wo in die Taylorformel einsetzen muss...

Answer 2

von (1+x)^α um x=0, wobei α ∈ℝ

f(x) =  (1+x)^α

^{f ' (x) = a ( 1+x)^{a-1}}

^{f ''(x) = a(a-1) (1+x)^{a-2}}

^{f ''' (x) = a(a-1)(a-2) (1+x)^{a-3}}

^.....

^{f^ (a) (x) = a! (1+x)^0 = a!}

^{Nun richtig in die Taylorformel einsetzen. Wie sieht denn die in deinem Heft genau aus?}

Comments

Es wäre allerdings besser, wenn da nicht α ∈ℝ sondern α ∈ ℕ stehen würde.

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Die Taylorformel ist ja:


Wie setze ich das nun hier ein? Ich verstehe nicht ganz, für was ich die in der Aufgabenstellung gegebene Formel brauchen soll...

Und ja, in der Aufgabe steht α ∈ℝ.

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Das 'a' in deiner Taylorformel ist hier 0.

Dann brauchst du hier

f(0) =  (1+0)^α = 1              f(0)/0! =1/1 = 1

^{f ' (0) = a ( 1+0)^{a-1}} = a          f ' (0)/1! = a

^{f ''(0) = a(a-1) (1+0)^{a-2}} = a(a-1)         f ''(0)/2! = a(a-1)/2!  = a! /(2! (a-2)!)  

^{f ''' (0) = a(a-1)(a-2) (1+0)^{a-3}} = a(a-1)(a-2)       f'''(0)/ 3! = a(a-1)(a-2) / 3! = a! / (3!(a-2)! )

.....

Anmerkung es gibt zwischendurch ein Problem mit der Schriftgrösse und her Hochstellung. Du brauchst aber nur den Term ganz links und dann das Resultat ganz rechts.

Nun erkennt man die Binomialkoeffizienten, wenn man unten anfängt. Das rote betrachte erst, wenn der Rest klar ist.

   f(0)/0! =1/1 = 1  = a! / (0! * a!) = (a tief 0)

    f ' (0)/1! = a  = a!/(1! *(a-1)!)  = ( a tief 1)

 f ''(0)/2! = a(a-1)/2!  = a! /(2! (a-2)!)  = (a tief 2)

   f'''(0)/ 3! = a(a-1)(a-2) / 3! = a! / (3!(a-2)! )  = (a tief 3) 

usw. qed.

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Vielen Dank für deine Mühe, was du erklärt hast, habe ich alles verstanden :)

Was ich noch nicht ganz verstanden habe:

a) Wohin das (x-a)ⁿ verschwunden ist, das hinter der Taylorformel steht
(und welches ich in deinen Rechnungen nicht sehen kann)

und

b) Wie ich das Ergebnis nun aufschreibe, denn so ist das ja genau die Summe,
die schon in der Aufgabenstellung gegeben ist?

∑n≥0(αn)x

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Wohin das (x-a)ⁿ verschwunden ist, das hinter der Taylorformel steht?

Du suchst die Entwicklung um a=0.

Daher nur noch (x-0)^n = x^n in meinen Formeln.

Ja. Du sollst ja die gefragte Formel begründen. Schreibe sie als Resultat der Rechnung genau so, wie sie dir angegeben wurde.

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Ich sehe aber auch das xⁿ in deinen Formeln nirgends?

Aso wäre das Ergebnis:


?

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Bingo! Du musst natürlich die Zwischenrechnungen, die ich gemacht habe, einfügen, damit diese Behauptung dann auch begründet ist.

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Oke, noch zwei letzte Fragen:

Wie meinst du das, diese einfügen?

Und wo ist das xⁿ in deinen Rechnungen?

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Erst am Schluss.

Was hier steht ist vollständig.

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"Es wäre allerdings besser, wenn da nicht α ∈ℝ sondern α ∈ ℕ stehen würde."

\(\alpha\in\mathbb{N}\) zu fordern ist hier gar nicht notwendig; der Binomialkoeffizient ist auch für \(\alpha\in\mathbb{C}\) definiert durch \(\binom{\alpha}{0}=1, \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}\) für \(n\in\mathbb{N}\), \(\binom{\alpha}{n}=0\) für \(n\in\mathbb{Z}, n<0\).

Allerdings darf man das dann nicht in die Form \(\frac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!}\) bringen, denn das geht dann wirklich nur für \(\alpha\in\mathbb{N}\).

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Nick: Danke für die Ergänzung. Binomialkoeffizienten sind, wie du sagst auch für nichtnatürliche a definiert.

Die Definition ist dann aber als Produkt und nicht mit den Fakultäten zu verstehen, wie das euch vorgegeben wurde. Vgl. Definitionen hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

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Alles klar, beim selber nachrechnen konnte ich nun alles nachvollziehen,

danke vielmals!