"Seltsames" Integral berechnen: ∫ 1/ (a^2 sin x ^2 + b^2 cos x ^2 ) dx von 0 bis π/2.

Question

Weiss jemand wie man folgendes Integral berechnet:

 ∫ 1/ (a^2 sin x ^2 + b^2 cos x ^2 ) dx

$$ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { d\phi  }{ { a }^{ 2 }{ sin( }\phi )^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ cos(\phi ) }^{ 2 } }  } $$  a, b > 0

Ich komme weder mit Substituieren, noch mit einer partiellen Integration auf einen grünen Zweig...

Comments

Tipp: Substituiere \(z=\tan \phi\).

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Die Lösung müsste sein:

$$ \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { d\phi  }{ { a }^{ 2 }{ sin( }\phi )^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ cos(\phi ) }^{ 2 } }  } $$


$$=[ \frac { arctan(\frac { a*tan(\phi) }{ b } )}{ ab } ] $$

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Vielen Dank für die Antwort, aber kannst du mir sagen, wie das genau geht mit dem tangens bzw. arctan?

ich sehe nicht, wie ich dass umformen muss um so substituieren zu können? :/

Answer 1

Klammere \(\cos^2\phi\) im Nenner aus und substituiere \(z=\tan\phi.\)
Dann ist \(\dfrac{\mathbb dz}{\mathbb d\phi}=\dfrac1{\cos^2\phi}\) und$$\int\frac{\mathbb d\phi}{a^2\sin^2\phi+b^2\cos^2\phi}=\int\frac{\mathbb d\phi}{\cos^2\phi\left(a^2\tan^2\phi+b^2\right)}=\int\frac{\mathbb dz}{a^2z^2+b^2}.$$

Comments

Wenn ich nun die Integrationsgrenzen anpasse, komme ich ja auf 0 bis tan(pi/2). Aber tan(pi/2) ist ja nicht definiert?

Wie integriere ich das nun?

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Bestimme zunächst das Integral in Abhängigkeit der oberen Grenze \(t\) und bilde dann den Grenzwert für \(t\to\infty\).

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Wennich das zu integrieren versuche, komme ich auf:

$$ -\frac { 1 }{ { a }^{ 2 }t+{ b }^{ 2 }t } +C\quad wobei\quad t=tan(\frac { \pi  }{ 2 } ) $$

Stimmt das? und fall ja, was muss ich jetzt noch machen?

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$$\int\frac{\mathbb dz}{a^2z^2+b^2}=\frac1{ab}\arctan\frac{az}b+C.$$

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Welche Regel muss man anwenden, dass man hier auf arctan kommt?

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Sei \(f(x)=\arctan x\). Dann ist \(\tan f(x)=x.\) Ableiten liefert$$\left(1+\tan^2f(x)\right)\cdot f'(x)= 1\Rightarrow f'(x)=\frac1  {1+x^2}.$$

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Wenn ich nun die beiden Integrationsgrenzen einsetze, komme ich auf
$$ \frac { arctan(\frac { \pi a }{ 2b } ) }{ ab } $$

Könnte das jemand bestätigen?

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Ich komme auf \(\frac{\pi}{2ab}\).

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Könntest du das eventuell vorrechnen?

Ich sehe meinen Fehler echt nicht :/