Zeigen sie dass die Lösungsmenge eines LGS ein Untervektorraum ist.

Question

Sei K ein Körper, und

n

∑     a_ij X_j =0 ,   1≤i≤m

j=1

ein homogenes lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten a_ij ∈ K. Verifizieren sie explizit, dass die Lösungsmenge L⊂Kⁿ ein Untervektorraum ist.

Mein Lösungsvorschlag:
Die Kriterien überprüfen:

1.) es darf nicht die leere menge sein

2.) Die Addition muss abgeschlossen sein

3.) Die skalare Multiplikation muss abgeschlossen sein.

Dazu habe ich schin im Internet gefunden:

1)

L ist nicht leer, da L zumindest den Vektor (λ₁,......,λ_n) = ( 0 , 0 , ... 0 ) enthält, denn es gilt:

0 * v₁ + . . . + 0 * v_n = 0

2)

Seien a = ( a₁ ,......, a_n ) und b = ( b₁,......, b_n ) ∈ W.

Zeige, dass dann auch gilt: ( a + b ) = ( ( a₁ + b₁ ) , ... , ( a_n + b_n ) ) ∈ L

a = ( a₁ ,......, a_n ) und b = ( b₁,......, b_n ) ∈ W

=> a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0 und b₁* v₁ + . . . + b_n* v_n = 0

=> ( a + b ) * v = ( a₁ + b₁ ) v₁ +  ... + ( a_n + b_n ) * v_n

= a₁ * v₁ + b₁ * v₁ +  ... + a_n * v_n + b_n* v_n

= a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n + b₁* v₁ + . . . + b_n* v_n

= 0 + 0

= 0

Also ist auch ( a + b ) ∈ L

3.)Sei a ∈ L und λ ∈ K,

Zeige, dass dann auch gilt: λ * a ∈ L

Beweis:

a = ( a₁ ,......, a_n ) ∈ L

=> a * v = a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0

=> ( λ * a ) * v = ( ( λ * a₁ ) * v ₁+ ... + ( λ * a_n ) * v_n )

K ist Körper also gilt das Distributivgesetz, daher:

= λ ( a₁ * v ₁+ ... + * a_n * v_n )

= λ * 0

= 0

=> λ a ∈ L

wäre dass so richtig?

Answer 1

Ich meine das ist Top.