Habe ich den Kern der Matrix { {0;0;0};{0;1/2;-1/2};{0; -1/2; 1/2}} richtig berechnet?

Question

von folgender Matrix soll der kern berechnet werden.
$$\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \end{matrix} \right] $$

nach berechnung des Rangs = 1
weiß ich durch die Diemensionsgleichung, dass der Kern eine diemension von 2 hat. dh. er wird durch zwei basisvektoren aufgepannt bzw. ich muss zwei vektoren in meiner Menge nachher angeben oder nicht ? Ist der kern richtig berechnet und dargestellt ?


durch lösen der Matrix in der Zeilenstufenform bekomme ich:
$$\left[ \begin{matrix} 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] $$

$$kern(B)\quad =\quad \left\{ \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] s\quad ,\quad \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] t \right\} $$

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Kern+of+%7B+%7B0%3B0%3B0%7D%3B%7B0%3B1%2F2%3B-1%2F2%7D%3B%7B0%3B+-1%2F2%3B+1%2F2%7D%7D

Ein Richtungsvektor stimmt. Der andere müsste (1,0,0) sein.

Zudem müsstest du

Kern(B) = { v = s(1,0,0) + t(0,1,1) } angeben: Mit Plus und nicht mit Komma

Du kannst z.B. über die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 gehen. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B+%7B0%3B0%3B0%7D%3B%7B0%3B1%2F2%3B-1%2F2%7D%3B%7B0%3B+-1%2F2%3B+1%2F2%7D%7D

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Hey Lu, danke für die super antwort, jetzt kann ich das selbständig kontrollieren, kannst du mir eventuell nochmal helfen, ich rechne scheinbar das Gleichungssystem auf einem falschen Weg aus, wie mach ich das richtig?  ausgehen von dem Gleichungssystem in der Zeilenstufenform bzw. oberen Dreiecksmatrix:
 die Matrix :
$$\begin{matrix} I \\ II \\ III \end{matrix}\left[ \begin{matrix} 0 & 1/2 & -1/2\quad |0 \\ 0 & 0 & 0\quad \quad \quad |0 \\ 0 & 0 & 0\quad \quad \quad |0 \end{matrix} \right]  $$

dann habe ich das so gelernt, dass man meißt die x₃ = t setzt.
daraus folgt in der übrigen Gleichung :
0*x₁ + 1/2*x₂ - 1/2*t = 0
1/2*x₂ - 1/2*t = 0
x₂= t

somit als vektor :
$${ v }_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] t$$

wie mach ich das nun mit dem zweiten ?

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Wähle für den zweiten x1 = s.

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dann bekomme ich x2 = x3 heraus, nur ich versteh nicht woher man weiß dass nun x2 oder x3  =0 ist ? woher weiß man dass diese null sind?

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Müssen die gar nicht. Aber es ist der einfachste Vektor, wenn da zwei mal 0 steht.

Beim 1. Basisvektor hast du ja für x1 auch einfach mal 0 genommen.

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oh stimmt, dann ist das klar! vielen Dank Lu!

Answer 1

deine zwei Vektoren bilden keine Basis da sie lin abh sind.
aus der zeilenstufenform konntest du ablesen
1,0,0   und   0,1 ,1    Die bilden einebasis.

Comments

Sicher? Ich lese an der Zeilenstufenform (1,0,0) und (0,1,1) ab.

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Hast du recht , da habe ich wohl was flott abgelesen.

Answer 2

Antwort bestand aus Kommentaren. Hier ein Teil davon als Kopie.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Kern+of+%7B+%7B0%3B0%3B0%7D%3B%7B0%3B1%2F2%3B-1%2F2%7D%3B%7B0%3B+-1%2F2%3B+1%2F2%7D%7D 

Ein Richtungsvektor stimmt. Der andere müsste (1,0,0) sein.

Zudem müsstest du

Kern(B) = { v = s(1,0,0) + t(0,1,1) } angeben: Mit Plus und nicht mit Komma

Du kannst z.B. über die Eigenvektoren zum Eigenwert 0 gehen. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B+%7B0%3B0%3B0%7D%3B%7B0%3B1%2F2%3B-1%2F2%7D%3B%7B0%3B+-1%2F2%3B+1%2F2%7D%7D

.....

Wähle für den zweiten x1 = s.