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Roulette: Setzt ein Spieler einen Euro auf ein Ereignis, das die Wahrscheinlichkeit \( \frac{x}{37}, x \in\{1,2,3,4,6,12\} \) besitzt, so erhält er seinen Einsatz zurück und dazu \( \left(\frac{36}{x}-1\right) \) Euro.

Gesucht ist der Erwartungswert und die Varianz des Reingewinns der Bank pro eingesetztem Euro in Abhängigkeit von x.

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$$ \frac{x}{37} \cdot \left(1+ \frac{36}{x}-1\right) $$
$$ \frac{x}{37} \cdot \frac{36}{x} $$
$$ \frac{36}{37}  $$

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Könntest du bitte kurz den Rechenweg erklären? Berechnet man den Erwartungswert bzw. Varianz nicht anders?

Ich habe lediglich den Text in einen mathematischen Term übersetzt und diesen vereinfacht.

Von Varianz war keine Rede.

okay. - weil eigentlich die Aufgabe war, den Erwartungswert und Varianz des Gewinns der Bank pro eingesetztem Euro in Abhängigkeit von x zu berechnen.

Den Erwartungswert haben wir ja schon - musst nur noch mit einem Euro multiplizieren.

Die Berechnung der Varianz diskreter Zufallsvariablen ist entweder im Buch oder bei wiki erläutert.

sehr gut hier :


ist das so jetzt richtig?

X: Gewinn/Verlust der Bank pro eingesetztem Euro

xi                      -1                     (36/x) -1
P(X=xi)           1-(x/37)                   x/37


E(X) = -1 • (1- (x/37))  + ((36/x) -1) •  x/37 = -1 + x/37 + 36/37 - x/37

 = 36/37 -1

≈ - 0,027 ≅ 0,03€

 Moment, das wäre vom Spieler aus gesehen - für die Bank gilt 36/37 --- 0,97€
Oh Okay, jetzt verstehe ich auch die Rechnung von pleindespoir.

Zur Varianz:

E(X)² = (36/37)² = 1296/1369

E(X²) = 1- (x/37) + ( 1 - 36/x )²  • x/37 = 1- (x/37) + (1 - 72/x + 1296/x²) • x /37

= 1- (x/37) + x/37 - 72/37 + 1296/37x = 1 -  72/37 + 1296/37x

= 1296/37x - 35/37

V(X) = 1296/37x - 35/37 - 1296/1369

= 35,03x  -1,89

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