Gewinn der Bank (Stochastik, Roulette)

Question

Roulette: Setzt ein Spieler einen Euro auf ein Ereignis, das die Wahrscheinlichkeit \( \frac{x}{37}, x \in\{1,2,3,4,6,12\} \) besitzt, so erhält er seinen Einsatz zurück und dazu \( \left(\frac{36}{x}-1\right) \) Euro.

Gesucht ist der Erwartungswert und die Varianz des Reingewinns der Bank pro eingesetztem Euro in Abhängigkeit von x.

Answer 1

$$ \frac{x}{37} \cdot \left(1+ \frac{36}{x}-1\right) $$
$$ \frac{x}{37} \cdot \frac{36}{x} $$
$$ \frac{36}{37}  $$

Comments

Könntest du bitte kurz den Rechenweg erklären? Berechnet man den Erwartungswert bzw. Varianz nicht anders?

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Ich habe lediglich den Text in einen mathematischen Term übersetzt und diesen vereinfacht.

Von Varianz war keine Rede.

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okay. - weil eigentlich die Aufgabe war, den Erwartungswert und Varianz des Gewinns der Bank pro eingesetztem Euro in Abhängigkeit von x zu berechnen.

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Den Erwartungswert haben wir ja schon - musst nur noch mit einem Euro multiplizieren.

Die Berechnung der Varianz diskreter Zufallsvariablen ist entweder im Buch oder bei wiki erläutert.

sehr gut hier : https://www.youtube.com/watch?v=G6s5uFZmlJ4#t=33

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ist das so jetzt richtig?

X: Gewinn/Verlust der Bank pro eingesetztem Euro

x_i                      -1                     (36/x) -1
P(X=x_i)           1-(x/37)                   x/37


E(X) = -1 • (1- (x/37))  + ((36/x) -1) •  x/37 = -1 + x/37 + 36/37 - x/37

 = 36/37 -1

≈ - 0,027 ≅ 0,03€

 Moment, das wäre vom Spieler aus gesehen - für die Bank gilt 36/37 --- 0,97€
Oh Okay, jetzt verstehe ich auch die Rechnung von pleindespoir.

Zur Varianz:

E(X)² = (36/37)² = 1296/1369

E(X²) = 1- (x/37) + ( 1 - 36/x )²  • x/37 = 1- (x/37) + (1 - 72/x + 1296/x²) • x /37

= 1- (x/37) + x/37 - 72/37 + 1296/37x = 1 -  72/37 + 1296/37x

= 1296/37x - 35/37

V(X) = 1296/37x - 35/37 - 1296/1369

= 35,03x  -1,89