Sei n aus N. Berechne Σ (n tief m) (1/2)^m von m=0 bis n und Σ ((5+(-1)^n)/3^n)

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( n \in \mathbb{N} \). Berechnen Sie \( \sum \limits_{m=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ m\end{array}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{m} \).

(b) Berechnen Sie \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{5+(-1)^{n}}{3^{n}} \).

Comments

(a) Benutze den binomischen Lehrsatz für (1/2 + 1)^n

(b)

Σ ((5+(-1)^n)/3^n) = Σ (5 /3^n) + Σ ((-1)^n)/3^n)

Da beides konvergente geometrische Reihen sind, kannst du sie separat berechnen und dann die Resultate addieren.

EDIT: Mehr eventuell hier: https://www.mathelounge.de/175765/grenzwert-berechnen-σ-5-1-n-3-n-von-n-0-bis-inf?state=comment-175771&show=175771#a175771

Answer 1

kennst du die allgemeine binomische Formel  (a+b)^n = .....
Das gibt eine Suimme, bei der genau die Binomialkoeffizienten stehn, die auch in deiner Summe
stehen.
Jetzt nimm mal a=1 und b=1/2 dann kommt genua deine Summe raus, also
ist das ergebnis (1+/1/2))^n = (3/2)^n
bei b) machst du am besten 2 Reihen draus , weil immer abwechseln einmal 6 und einmal
4 im Zähler steht
die eine ist dann die reihe mit den Gliedern 6/(3^n) für gerades n, also
wäre das 6/ (3^{2k} für alle k aus N  = 6 / 9^n  =  6 * (1/9)^n,
also 6* geometrische Reihe mit q=1/9  
gibt 6 * 1 / (1- (1/9) )

Comments

Wäre 54/8 das Ergebnis oder fehlt da noch etwas?