Zeigen dass Bedingung gilt + Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung

Question

1. Zeigen Sie, dass gilt: \( \sin ^{2}(2 x)+\cos (3 x) \cdot \cos (x)=\cos ^{2}(x) \).

2. Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung \( \cos ^{2}(x)=\frac{1}{4} \) im Intervall von 0 ≤ x ≤ 2 π.

Ansatz:

Ich hab bis jetzt nur cos²(x) - 0,25 = 0 aber wie geht es jetzt weiter?

Answer 1

$$ \left(\sin (2x) \right)^2 +\cos(3x) \cdot \cos(x) =\cos^2(x) $$
Was man dazu wissen sollte:
$$    \sin (2x)= 2 \sin x \; \cos x $$ $$\cos(3x) = 4 \cos^3(x) - 3 \ cos (x)   $$
einsetzen:
$$ \left(2 \sin x \; \cos x  \right)^2 +(4 \cos^3(x) - 3 \ cos (x) ) \cdot \cos(x) =\cos^2(x) $$
ausmultiplizieren:
$$ 4 \sin^2 x \; \cos^2 x  +4 \cos^4(x) - 3 \ cos^2 (x)  =\cos^2(x) $$
durch cosinusquadrat teilen
$$ 4 \sin^2 x   +4 \cos^2(x) - 3 =1 $$

Comments

danke kannst du mir noch die lösungen der gleichung ausrechnen? cos ² (x) = 0,25

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hab folgendes gemacht :

cos ² (x) - 0,25 = 0     / sub. u = cos (x)

u - 0,25 = 0

u1 / 2 = plus minus 0,5  x1 = 1.047 x2 = 1.047 + pi

kann mir trotzdem jemand das mal sauber auflösen

hab die resub. durch probieren auf gelöst welche äqivalenzumformunng brauch ich um

u1/2 = cos (x )   nach x aufzulösen  z.B. 0,5 = cos x

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um himmelswilli!

$$4 \sin^2 x   +4 \cos^2x - 3 =1$$

$$4 (\sin^2 x   + \cos^2x )- 3 =1$$

jetzt kommts:

$$4 \cdot (1 )- 3 =1$$

womit die Allgemeingültigkeit der Behauptung restlos bewiesen wäre

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Frage b:

$$ \cos^2 x=\frac14 $$

$$ \cos^2 x=(\pm\frac12)^2 $$

$$ \cos x=\pm\frac12 $$

$$x_1= \arccos\frac12 $$

$$x_2= - \arccos\frac12 $$

$$x_3= \arccos-\frac12 $$

$$x_4=- \arccos-\frac12 $$

wobei zu jeder Basislösung noch die Periodizität zu berücksichtigen wäre (die Zusatzangabe mit dem Intervall ist nicht zu erkennen)

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JA x1/2 / 3 / 4 = pi/3 ; 2pi/3 ; 4pi/3, 5 pi/3

Richtig!