Zeigen Sie folgende Ungleichungen für beliebige reelle Zahlen: |s| ≤ |s+r| + |r|

Question

Zeigen Sie folgende Ungleichungen für beliebige reelle Zahlen \( r, s \) und \( t \).

(i) \( |s| \leq|s+r|+|r| \)

(ii) \( r s+s t+t r \leq r^{2}+s^{2}+t^{2} \)

(iii) \( r^{2}+s^{2}+t^{2}+r s+s t+t r \geq 0 \)

Answer 1

zu 2 und 3  kannst du mit
(r-s)^2 + (s-t)^2 + (r-t)^2 >= 0 anfangen  denn die summe von drei Quadraten ist sicherlich nicht negativ

ausrechnen und zusammenfassen gibt
2r^2 + 2s^2 + 2t^2 - 2rs - 2st - 2 rt >=0  dann noch durch 2 und
 ein paar auf die andere Seite bringen.

bei 3 fängst du genauso an, nur mit + in den Klammern

wenn bei 1 dreieckungleichung erlaubt ist, ist ja alles easy,
ansonsten musst du wohl einige Fälle unterscheiden.

Answer 2

|s| ≤ |s+r| + |r|

mit Dreiecksungleichung: | a + r| ≤ | a| + |r|

Sei s = -(a + r) . Dann ist

s + r = -(a + r) + r = -a

Weil |-a| = |a| = | s+r| und |-(a+r) | = |a+r| = |s| , folgt nun

aus | a + r| ≤ | a| + |r|

|s| ≤ | s+r| + |r|

qed.