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Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass

\( \prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)=2-\frac{1}{n+1} \)


Das ist mein Versuch für den Beweis:

Bild Mathematik

Das Ergebnis habe ich mithilfe von Wolfram Alpha geprüft. Es ist nicht korrekt.

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Beim Induktionsschluss ist was fasch:
Der Ansatz stimmt, aber nach dem 1. Gleich hast du in dem Produkt den Nenner n+k
Das muss aber n+1+k heißen,  Der Faktor dahinter ist wieder richtig, das ist kurz 1/(2n+2).
Das Produkt von 1 bis n+1 über (1+1/(n+1+k)) kannst du aber auch als
Produkt von 2 nis n+2 über (1+1/(n+k))schreiben, dann klappt es mit der Induktionsvor. noch nicht ganz, weil
der 1.Faktor (für k=1) fehlt und hinten 2 zuviel sind k=n+1 und k=n+2
also kannst du schreiben
= produkt von 1 bis n über (1+1/(n+k))   *  (1+(1/2n+1)  * ( 1+1/(2n+2)    durch (1+1/(n+1))
jetzt kannst du für das produkt von 1 bis n die Ind. vor einsetzen und hast dann
= (2-1/(n+1) * (1+(1/2n+1)  * ( 1+1/(2n+2)    durch (1+1/(n+1))
und das gibt ausgerechnet tatsächlich 2 - 1/(n+2)   bzw. (2n+3)/(n+2) was dem gleich ist.
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könnten sie mir bitte bei meiner Frage helfen, keiner kann mir helfen und ich weiß nicht weiter

https://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung

was ist denn mit der Induktion. Ist das klar oder gibt es da noch was zu

klären.

also ich habe keine Probleme damit, das wichtigste für mich wären diese beiden Aufgabenhttps://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung

keiner kann mir dabei helfen und sie sind meine Hoffnung

vielen Dank für ihre Antwort. Jedoch ist mir dieser Schritt nicht ersichtlich:

Produkt von 2 bis n+2 über (1+1/(n+k)) 

Produkt von 1 bis n über (1+1/(n+k)) * (1+(1/(2n+1))) * ( 1+(1/(2n+2))) durch (1+(1/(n+1))) .

Wie sind sie auf diesen Schritt gekommen?


Für Das Produkt von 2 bis n+2 über ...

kannst du ja die Ind-vor nicht nutzen. Dazu brauchst du das Prod. von 1 bis n

das unterscheidet sich von dem anderen dadurch, dass es quasi vorne einen

Faktor mehr hat (nämlich den für k=1; deshalb habe ich am Ende durch diesen geteilt,

damit er nicht mitgerechnet wird.

Außerdem gibt es in dem 1. Produkt Faktoren für k=n+1 und für k=n+2, die

kommen aber in dem zweiten Produkt nicht vor, werden also als Faktoren

dahinter geschrieben.

Nun ist es mir klarer. Nochmal vielen Dank für ihre Hilfe und noch einen schönen Abend wünsche ich Ihnen.

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