Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass Π (1 + 1/(n + k)) = 2 - 1/(n + 1)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass

\( \prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)=2-\frac{1}{n+1} \)

Das ist mein Versuch für den Beweis:

Das Ergebnis habe ich mithilfe von Wolfram Alpha geprüft. Es ist nicht korrekt.

Answer 1

Beim Induktionsschluss ist was fasch:
Der Ansatz stimmt, aber nach dem 1. Gleich hast du in dem Produkt den Nenner n+k
Das muss aber n+1+k heißen,  Der Faktor dahinter ist wieder richtig, das ist kurz 1/(2n+2).
Das Produkt von 1 bis n+1 über (1+1/(n+1+k)) kannst du aber auch als
Produkt von 2 nis n+2 über (1+1/(n+k))schreiben, dann klappt es mit der Induktionsvor. noch nicht ganz, weil
der 1.Faktor (für k=1) fehlt und hinten 2 zuviel sind k=n+1 und k=n+2
also kannst du schreiben
= produkt von 1 bis n über (1+1/(n+k))   *  (1+(1/2n+1)  * ( 1+1/(2n+2)    durch (1+1/(n+1))
jetzt kannst du für das produkt von 1 bis n die Ind. vor einsetzen und hast dann
= (2-1/(n+1) * (1+(1/2n+1)  * ( 1+1/(2n+2)    durch (1+1/(n+1))
und das gibt ausgerechnet tatsächlich 2 - 1/(n+2)   bzw. (2n+3)/(n+2) was dem gleich ist.

Comments

könnten sie mir bitte bei meiner Frage helfen, keiner kann mir helfen und ich weiß nicht weiter

https://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung

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was ist denn mit der Induktion. Ist das klar oder gibt es da noch was zu

klären.

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also ich habe keine Probleme damit, das wichtigste für mich wären diese beiden Aufgabenhttps://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung

keiner kann mir dabei helfen und sie sind meine Hoffnung

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vielen Dank für ihre Antwort. Jedoch ist mir dieser Schritt nicht ersichtlich:

Produkt von 2 bis n+2 über (1+1/(n+k)) = 

Produkt von 1 bis n über (1+1/(n+k)) * (1+(1/(2n+1))) * ( 1+(1/(2n+2))) durch (1+(1/(n+1))) .

Wie sind sie auf diesen Schritt gekommen?

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Für Das Produkt von 2 bis n+2 über ...

kannst du ja die Ind-vor nicht nutzen. Dazu brauchst du das Prod. von 1 bis n

das unterscheidet sich von dem anderen dadurch, dass es quasi vorne einen

Faktor mehr hat (nämlich den für k=1; deshalb habe ich am Ende durch diesen geteilt,

damit er nicht mitgerechnet wird.

Außerdem gibt es in dem 1. Produkt Faktoren für k=n+1 und für k=n+2, die

kommen aber in dem zweiten Produkt nicht vor, werden also als Faktoren

dahinter geschrieben.

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Nun ist es mir klarer. Nochmal vielen Dank für ihre Hilfe und noch einen schönen Abend wünsche ich Ihnen.