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Komplexe Übungen - Exponentialfunktionen:

Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{k} \) durch die Gleichung \( f_{i}(x)=2 k x^{2} e^{k-1} \) mit \( k>0 \). Ihre Graphen seien \( G_{i} \).

a) Bestimmen Sie das Verhalten der Graphen \( G_{2} \) im Unendlichen und ermitteln Sie die Gleichung der Asymptote.
Untersuchen Sie die Graphen \( G_{i} \) auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Extrem- sowie Wendepunkte und berechnen Sie deren Koordinaten.

(Graphen von \( G_{1} \) und der ersten Ableitung von \( f_{1} \) - siehe Abbildung)

blob.png

b) Eine Gerade \( x=u \) mit \( u>\frac{1}{2} \) schneidet \( G_{i} \) im Punkt \( P \) und den Graphen der zweiten Ableitung von \( f_{k} \) im Punkt \( Q \). Für welches \( u \) wird die Strecke \( \overline{P Q} \) maximal?

c) \( G_{1} \) und der Graph der ersten Ableitung von \( f_{1} \) begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes dieser Fläche.

d) Die Fläche, die durch den Graph der ersten Ableitung von \( f_{1} \) und die \( x \) - Achse vollständig begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Ermitteln Sie das Volumen des Rotationskörpers.

e) Die Ursprungsgerade, welche Tangente an \( G_{1} \) ist, sei \( t_{1} \) und ihr Berührpunkt sei \( R \). Zeigen Sie, dass \( R \) ein Punkt des Graphen der ersten Ableitung von \( f_{1} \) ist und ermitteln Sie eine Gleichung für den Parameter \( k \) so, dass die Tangente \( t_{2} \) im Punkt \( R \) an den Graphen der ersten Ableitung von \( f_{t} \) senkrecht zu \( t_{1} \) verläuft.

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1 Antwort

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Beste Antwort

Dein Foto ist leider nicht immer zu entziffern.

f ( x ) = 2 * k * x^2 * e^{k-x} ???

Desweiteren habe ich die 1.Ableitung  f ´( x ).
k ist noch unbestimmt.

Desweiteren eine Gerade die durch den Ursprung geht  und
Tangente an f ( x ) ist. [ Aber nicht im Punkt ( 0 | 0 ) ].

Also Steigung der Geraden = Steigung im Punkt  R
f ( x ) = m * x
und
f ´( x ) = m

???

Das könnte der erste Schritt zur Lösung sein.

Avatar von 123 k 🚀

ich versteh leider immer noch nicht ganz wie man da weiter soll

also die Tangente geht nicht durch den punkt 0/0

aber das wird doch beschrieben mit (durch den Koordinatenursprung ) 

ich brauche die richtige Orginalgleichung der Funktion und ich
brauche den von e.) in leserlicher Form.

Gegeben ist die Funktionenschar fk durch die Gleichung fk(x)=2*k*x^2*ek-x mit k größer 0.Ihre Graphen seien Gk.

Aufgabe: Die Ursprungsgerade ,welche Tangente an Gk ist,sei t1 und Ihr Berührpunkt sei R.Zeigen Sie ,dass R ein Punkt des Graphen der ersten Ableitung von fk ist und ermitteln Sie eine Gleichung für den Parameter k so,dass die Tangente t2 im Punkt R an den Graphen der ersten Ableitung von fk senkrecht zu t1 verläuft.

Hier schon einmal eine erste Antwort

Bild Mathematik

t1 = 2 * k * e^{k-1} * x
m1 = 2 * k * e^{k-1}

f ´´ ( x ) = 2 * k * e^{k-1} * ( x^2 - 4 * x + 2 )
Steigung in R
f ´´ ( 1 ) = 2 * k * e^{k-1} * ( 1 - 4 + 2 )
f ´´ ( 1 ) = -2 * k * e^{k-1}
m2 = -2 * k * e^{k-1}

Orthogonal zueinander
m1 = - 1 / m2
2 * k * e^{k-1}  = - 1 /  ( -2 * k * e^{k-1} )
4 * k^2 * e^{2k-2} = 1
k = 0.685

Leider kommt hier kein schönes Ergebnis heraus.

Vieleicht hilft dir die Berechnung doch weiter.

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