Folge konvergiert, wenn diese drei Teilfolgen konvergieren. Beweis?

Question

Wie beweise ich:

Eine Folge (a_n)_n∈ℕ ⊂ℝ konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen

(a_2k)_k∈ℕ, (a_2k+1)_k∈ℕ, (a_3k)_k∈ℕ  konvergieren.

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( X \). Zeige:

a) Ist \( \pi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) bijektiv und \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent mit \( x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \), so konvergiert auch die Folge \( \left(x_{\pi(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{\pi(n)} \)

b) Sind die Teilfolgen \( \left(x_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(x_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=x \), so konvergiert auch \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und es gilt \( x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \).

c) Sind die Teilfolgen \( \left(x_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(x_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(x_{3 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent, so konvergiert auch \( \left(x_{n}\right)_{n \in N} \)

Answer 1

Eine Folge (a_n)_n∈ℕ ⊂ℝ konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen (a_2k)_k∈ℕ, (a_2k+1)_k∈ℕ, (a_3k)_k∈ℕ  konvergieren.

1. "==>"

Vor. (a_n)_n∈ℕ ⊂ℝ konvergiert. Grenzwert sei a. D.h. nach Definition für alle €> 0 existiert no so dass |an - a| < € für alle n > no.

Beh. (a_2k)_k∈ℕ, (a_2k+1)_k∈ℕ, (a_3k)_k∈ℕ  konvergieren gegen a.

Grund: als ko das no wählen passt für alle drei Folgen, da 2k, 2k+1 und 3k grösser oder gleich   k sind für k Element N.

2. "<=="

Vor: (a_2k)_k∈ℕ, (a_2k+1)_k∈ℕ, (a_3k)_k∈ℕ  konvergieren.

Grenzwerte seien a, b und c.

1. Bemerkung: Es kommen alle (a_n)_n∈ℕ in mindestens einer der Teilfolgen vor. a_2k sind die geraden Folgenglieder, a_2k+1 die ungeraden, a_3k sind die Folgenglieder deren Nummer durch 3 teilbar ist. (a_n)_n∈ℕ könnte somit maximal 3 Häufungspunkte a, b und c haben.

2. Bemerkung: a_2k sind die geraden Folgenglieder, a_2k+1 die ungeraden, a_3k sind die Folgenglieder deren Nummer durch 3 teilbar ist.

Da die dritte Folge immer zwischen den beiden andern hin- und herspringt, müssen alle drei den gleichen Grenzwert haben. Also: a=b=c.

Sei € > 0.

(a_2k)_k∈ℕ ⊂ℝ konvergiert. Grenzwert sei a. D.h. nach Definition für alle €> 0 existiert no so dass |a2k - a| <€ für alle k > ko.

(a_2k)_k∈ℕ ⊂ℝ konvergiert. Grenzwert sei b. D.h. nach Definition für alle €> 0 existiert no so dass |a2k+1 - b | <€ für alle k > k1.

(a_3k)_k∈ℕ ⊂ℝ konvergiert. Grenzwert sei c. D.h. nach Definition für alle €> 0 existiert k2 so dass |a3k - c| < € für alle k > k2.

Es gilt a=b=c. Vgl. Bemerkung Nr. 2.

Wähle nun no = 3*max{ko,k1,k2} dann gilt:

|an - a| <€ für alle n > no.

D.h. (a_n)_n∈ℕ ⊂ℝ konvergiert.

Comments

Hallo Lu, ich habe über deine Antwort nachgedacht und bin zu dem Entschluss gekommen, dass n₀ folgendermaßen gewählt werden muss:

n₀ = k₀ *2 , falls max(k₀, k₁) = k₀

n₀ = k₁*2+1, falls [max(k₀, k₁) = k₁ oder k₀ = k₁] und die natürlichen Zahlen ohne Null definiert wurden

n₀ = k₁*2-1, falls [max(k₀, k₁) = k₁ oder k₀ = k₁] und die natürlichen Zahlen mit Null definiert wurden

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Bei solchen Beweisen braucht man am Schluss keine Fallunterscheidung zu machen. Man kann den schlechtest möglichen Fall noch schlechter machen. D.h. einfach nach oben abschätzen (n0 grösser als unbedingt nötig machen) und hat dann ein n0, ab dem sicher der Abstand vom Grenzwert nicht mehr zu gross ist. q.e.d. mehr braucht es nicht.