[Grenzwerte von Reihen] Auflösung eines Bruchs in der Aufgabe

Question

Ich bin gerade dabei, einige Aufgabe zu Reihen, Grenzwerten etc. zu lösen, genauer gesagt diese:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 4n²-1 }  }  $$

Das kann man durch Indexverschiebung mithilfe der geometrischen Reihe letztendlich auf $$\frac { 8n²-3 }{ 4n²-2 } $$ umformen. Dort kam ich nicht weiter und habe nach ähnlichen Aufgaben gesucht - gefunden habe ich dies:

$$\frac { 3n+1 }{ 5n-2 } -\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 11 }{ 25n-10 } $$, wobei der erste Bruch die Folge ist, deren Grenzwert als 3/5 vermutet wird.

Ich kann diesen Rechenschritt nicht nachvollziehen und finde auch keine Lösung für den ersten. für die Hilfe!

Answer 1

((3n+1)*5  - 3(5n-2)   ) (5*(5n-2) )  =  (15n + 5  -  15n  + 6  ) / (25n-10 )  =  11 /   (25n-10 )
Das stimmt schon mal!
Und der Grenzwert von 11 /   (25n-10 ) ist Null, also hat der erste Bruch den GW   3/5

Bei deinem Bruch gibt es ja GW 2, müsstest du also
Bruch - 2 berechnen und zeigen: Das hat den GW 0

Comments

$$\frac{3n+1}{5n−2}−\frac{3}{5}=(5(3n+1)-3(5n-2)) * 5(5n-2)$$ könntest Du das genauer erklären? Wie gesagt geht es mir nicht um die Grenzwerte, sondern wirklich nur um diesen speziellen Rechenschritt bei Brüchen, bei dem ich irgendwie ein Brett vor dem Kopf habe.

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Du musst doch beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen,

dieser ist  (5n-2) * 5

Dazu musst du den ersten Bruch mit 5 erweitern

und den zweiten mit (5n-2)

und dann die beiden Zähler subtrahieren und den

gemeinsamen Nenner lassen.

Du hast vor dem 5(5n-2) ein * stehen, das war aber /

weil das 5(5n-2) halt der gemeinsame Nenner ist

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.... Ich bin dumm.