Beweisen Sie, dass die 2n Vektoren

Question

Sei V ein Vektorraum über den komplexen Zahlen ℂ, und $$ { a }_{ 1 },..., { a }_{ n }\in V $$ Vektoren. Wir betrachten dazu die Vektoren ia₁,..., ia_n ∈ V , die durch Skalarmultiplikation mit der imaginären Zahl i ∈ ℂ entstehen. Angenommen, die n Vektoren a_r ∈ V, 1 ≤ r ≤ n sind ℂ-linear unabhängig. Beweisen Sie, dass die 2n Vektoren $$ { a }_{ 1 },..., { a }_{ n },{ ia }_{ 1 },..., { ia }_{ n } \in V $$ ℝ-linear unabhängig sind. Hierbei fassen wir den ℂ-Vektorraum V in kanonischer Weise auch als ℝ-Vektorraum auf.

(Tipp: Machen Sie sich die Situation anhand des Spezialfalls V = ℂ, n = 1 klar.)

Answer 1

wir bilden eine Lin.komb des Nullvektors mit Faktoren aus IR:

x1*a1 + x2*a2 + .... + xn*an + y1*i*a1 + y2*i*a2 + ..... + yn * i * an = Nullvektor

Dann ist dies auch

(x1+i*y1)*a1 + (x2+i*y2)*a2 + ...............  (xn + i* yn) * an = Nullvektor

eine Linearkombination des Nullvektors mit den a-Vektoren

mit Faktoren aus C.

Da sie im C-Vektorraum lin unabh. sind, sind alle Faktoren

(x_k + i*y_k ) = 0  (also gleich der 0 in C )

Die komplexe Zahl C lässt sich aber nur durch 0 + i*0 darstellen,

also sind alle xk und alle yk gleich null und damit

die Vektoren lin. unab. im IR-Vektorraum.