Beweisen Sie, dass ein c in I mit f(c)=c existiert.

Question

Sei I := [a,b] ein kompaktes Intervall in ℝ und sei f : I → ℝ eine stetige Funktion mit f(I) ⊆ I. Beweisen Sie, dass ein c in I mit f(c) = c existiert.

Hinweis: Wenden Sie den Satz von Bolzano an einer Funktion an.

Comments

https://www.mathelounge.de/7385/zeigen-sie-ist-kompaktes-intervall-und-stetig-mit-gibt-ein-mit

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Das ist lediglich eine ähnliche Frage und hilft mir nicht weiter, weil ich gar nicht weiß, was zu tun ist. Ich würde mich über Lösungsansätze und Musterlösungen freuen!

Answer 1

in dem Link ist auf jeden Fall ein Lösungsansatz dabei mit dem du arbeiten könntest. Nur weil die Aufgabenstellung nicht genau dieselbe ist, heißt es nicht, dass die Antwort auf diese Frage keinen Blick Wert ist. Was du machen sollst:

Du brauchst eine Funktion, die in ihrer Definition deine beschriebene Funktion verwendet. Diese Funktion muss so konstruiert sein, dass die Bedingungen aus dem Satz von Bolzano erfüllt sind, damit du ihn anwenden kannst und deine Anfangsbehauptung zeigen kannst.

Allgemein solltest du sowas wie den Satz von Bolzano mit in deiner Fragestellung angeben. Ich persönlich kenne ihn nicht und habe kein Interesse daran erstmal zu googlen.

Musterlösungen zu Aufgaben aus dem Studium findest du auf dieser Seite (zum Glück) eher seltener.

Gruß

Comments

Die ist keine Antwort, sondern ein Kommentar!!! Bitte die Regeln beachten!

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....und wo genau ist der Sinn deines Beitrags außer trollen?

Answer 2

Hi,
hier wird der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen benötigt.
Sei \( g(x)=f(x)-x  \) dann gilt \( g(a)=f(a)-a \ge 0 \) und \( g(b)=f(b)-b \le 0 \)
Damit ergibt sich aus dem Zwischenwertsatz, dass es ein \( c \) gibt mit \( g(c)=f(c)-c=0 \) was zu beweisen war.