Division von Brüchen mit Variablen

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

$$ \frac { 4 x - ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } : \frac { 6 x ^ { 2 } - 6 } { ( 3 y + x ) ^ { 2 } - 6 x y } $$

Wäre sehr nett wenn die mir jemand sagt wie ich das ausrechnen kann. Ich weiß nur, dass ich bei der Division von Brüchen den zweiten Bruch umdrehen und dann mulziplizieren muss. Bei solchen (für mich) komplizierten Brüchen verstehe ich aber auch die Multiplikation nicht.

Answer 1

Als erstes würde ich hier die Klammern auflösen, weil sich dadurch möglicherweise Ausdrücke gemäss den binomischen Formeln in Zähler und/oder Nenner ergeben und weil man dann Zähler und Nenner besser kürzen kann:

$$ \frac { 4 x - \left( x ^ { 2 } - 2 x + 1 \right) } { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } * \frac { 9 y ^ { 2 } + 6 x y + x ^ { 2 } - 6 x y } { 6 x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 6 x - x ^ { 2 } - 1 } { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } * \frac { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { 6 x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 6 x - x ^ { 2 } - 1 } { 6 x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 6 x - x ^ { 2 } - 1 } { 6 \left( x ^ { 2 } - 1 \right) } = \frac { \left( x ^ { 2 } - 6 x + 1 \right) } { - 6 ( x - 1 ) ( x + 1 ) } = \frac { \left( x ^ { 2 } - 6 x + 1 \right) } { 6 ( 1 - x ) ( x + 1 ) } $$

Hast Du sicher keinen Fehler gemacht beim Abschreiben der Formel? Wenn die Vorzeichen im 1. Zähler etwas anders wären, könnte man noch mehr vereinfachen.

Comments

Tatsächlich habe ich beim Abschreiben einen Fehler gemacht. Im ersten Bruch ist es nicht (x-1)² sondern (x+1)². Die richtige Aufgabe sieht also so aus:

$$ \frac { 4 x - ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } : \frac { 6 x ^ { 2 } - 6 } { ( 3 y + x ) ^ { 2 } - 6 x y } $$

Leider verstehe ich es immer noch nicht ganz. Bitte um erklärung der einzelnen Rechenschritten.

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4x-(x+1)²= 4x-(x²+2x+1)= 4x-x²-2x-1 =-x²+2x-1=-1(x²-2x+1) =-1(x-1)²       der Term steht dann im Zähler

9y²+x² wird gekürzt mit (3y+x)²-6xy  beides ist ja identisch.

dann bleibt im Nenner 6x²-6  die 6 ausklammern    6(x²-1)   

nun kann man noch  x-1 einmal kürzen und es bleibt dann:

-1(x-1)/6  oder (-x+1)/6   als Ergebnis der Termumformung übrig

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Dann ergibt sich folgende Vereinfachung:

$$ \frac { 4 x - \left( x ^ { 2 } + 2 x + 1 \right) } { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } * \frac { 9 y ^ { 2 } + 6 x y + x ^ { 2 } - 6 x y } { 6 x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 2 x - x ^ { 2 } - 1 } { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } * \frac { 9 y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { 6 x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 2 x - x ^ { 2 } - 1 } { 6 x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 6 x - x ^ { 2 } - 1 } { 6 \left( x ^ { 2 } - 1 \right) } = \frac { \left( x ^ { 2 } - 2 x + 1 \right) } { - 6 ( x - 1 ) ( x + 1 ) } = \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { - 6 ( x - 1 ) ( x + 1 ) } = \frac { ( x - 1 ) } { - 6 ( x + 1 ) } = \frac { ( 1 - x ) } { 6 ( x + 1 ) } $$

Im ersten Zähler habe ich (x+1)² ausgerechnet (nach der 1. binomischen Formel)

Wegen des 4x am Anfang ergibt sich dann eine Formel nach der 2. binomischen Formel.

Beim 2. Nenner habe ich auch die 1. binomische Formel angewandt und dann fällt das 6xy weg. Dann sind der 1. Nenner und der 2. Nenner, der jetzt wegen der Division im Zähler steht gleich und lassen sich wegkürzen.

Bei 6x²  - 6  kann man 6 ausklammern und hat dann einen Ausdruck gemäss der 3. binomischen Formel. Mit (x+1) kann man dann kürzen. Um das - wegzubringen, habe ich x-1 zu einem 1-x gemacht.