für andere eventuell leicht? - will unbedingt diese aufgab lösen

Question

Aufgabe - Hessesche Normalform und Orthonormalbasis:

Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) sei \( E_{\alpha}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha x=1-y-z\right\} \).

(a) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene \( E_{\alpha} \) an.

(b) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform von \( E_{\alpha} \).

(c) Bestimmen Sie den Abstand von \( E_{\alpha} \) zum Punkt \( P=(1,-2,1) \).

(d) Ergänzen Sie einen Normalenvektor von \( E_{\alpha} \) zu einer Orthonormalbasis des \( \mathbb{R}^{3} \).

Answer 1

Denk dir doch erst mal drei Punkte aus, für die die Gl. stimmt.
z.B.  ( o / o / 1 )  und ( o / 1 / o ) und ( -1  / alpha / 0 ).
Dann kannst du doch dei Param.form machen.

b) ax + y + z = 1   (a statt alpha ) hat Normalenvektor  ( a / 1 / 1 ) mit Länge √(a^2 + 2 )
also Hesse:
( ax + y + z - 1 )  /   √( a^2 + 2 )     =  0

c)  Punkt in die linke Seite bei Hesse einsetzen, davon der Betrag gibt den Abstand

d) ein Nv von E ist z.B. für a=0 der Vektor  (0/1/1) normiert (0/1/1)* (1 / √(2) )
dazu orthogonal sicher  (1 / 0 / 0 ) .
und der dritte  (0/ 1 / -1 )* (1 / √(2) )