Matrixmultiplikation (A+B)^2 berechnen: A = ((1,2,0,1),(1,1,1,1),(0,0,0,0),(-2,-3,-1,-2))

Question

Aufgabe Matrixmultiplikation:

Gegeben seien die Matrizen

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & -1 & -2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \)

(a) Berechnen Sie \( (A+B)^{2} \) und \( A^{2}+2 A B+B^{2} \).

(b) Berechnen Sie \( A^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

(c) Berechnen Sie \( B^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

(d) Bestimmen Sie alle \( C \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) mit \( C^{\top} C=0 \).

Ansatz/Problem:

Ich kenn die Rechenregeln bei der Matrixmultiplikation, jedoch weiß ich nicht wie ich die Aufgaben für A hoch n weiterrechnen soll.

Answer 1

b) Berechne mal A^2     und   A^3 dann wird klar, dass alle folgenden gleich aussehen.

c) bei c ist es ähnlich

d)  Denk dir mal 16 Variablen aus für die Plätze in der Matrix C  (z.b. von a ... bis p zeilenweise

eingetragen und bei C^T dann halt spaltenweise.

Dann reicht es die Elemente der Hauptdiagonale von  C^T * C auszurechnen

auszurechnen ; denn wenn sowas a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 0

sein soll, geht das nur, wenn alle 4 gleich Null sind, denn die Quadrate

können ja nicht negativ werden.