aufgespannten Vektorraum bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei \( V=\mathrm{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) zusammen mit der punktweisen Addition, aufgefaßt als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum. Bestimme in jedem der folgenden Fälle den von \( X \) aufgespannten Unterraum.

(a) \( X=\{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): \forall x f(-x)=f(x)\} \)

(b) \( X=\{f \in \mathrm{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): \forall x f(-x)=-f(x)\} \)

(c) \( X=\{f \in \mathrm{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): \forall x f(-x)=f(x)\} \cup\{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): \forall x f(-x)=-f(x)\} \)

(d) \( X=\{f \in \mathrm{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f(0)=0\} \)

(e) \( X=\{f \in \mathrm{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f(0) \neq 0\} \)

Comments

bei a,b,d und e gilt doch jeweils span(X)=X, oder? bei der c denki ch nicht, aber weiß nicht genau wieso..kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Beispiel 1:
wenn du zwei Funktionen aus X addierst ist auch bei (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x)
= -f(x) - g(x) = -1* (f(x)  + g(x) ) = -1*(f+g)(x) = -(f+g)(x)
also f+g auch aus X
Ähnlich zeigst du  für alle a aus IR und f asu X ist auch a*f aus X
Also ist X selbst ein Unterraum des Raumes aller Abb von IR nach IR
also ist der von X aufgespannte Unterraum gleich X.

Comments

danke, aber das ist doch beispiel b) oder?