Urne enthält 2 rote und 3 schwarze Kugeln

Question

Aufgabe

Eine Urne enthalte 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Es wird rein zufällig eine Kugel gezogen und diese sowie eine weitere Kugel der gleichen Farbe in die Urne zurückgelegt. Nach gutem Mischenwird abermals eine Kugel gezogen; sie sei rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die erste gezogene Kugel rot?

Ich hab zuerst die Wahrscheinlichkeiten bestimmt die ich kenne:

Ereignisse:

Z₁=Erste Kugel ist rot

Z₂=Zweite Kugel ist rot

Dann ist ja P(Z₁)=2/5

und P(Z₂|Z₁)=1/2 weil ja wenn die erste Kugel rot war, diese plus eine weitere rote Kugel wieder zurückgelegt wird.

Gesucht ist doch P(Z₁|Z₂) und das müsste ja mit der Formel von Bayes gehen..

P(Z₁|Z₂)=P(Z₂|Z₁)*P(Z₁)/P(Z₂)

Mein Problem ist jetzt die Wahrscheinlichkeit von P(Z₂).. Wie kann ich diese Wahrscheinlichkeit bestimmen??

Danke schonmal

Answer 1

Eine Urne enthalte 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Es wird rein zufällig eine Kugel gezogen und diese sowie eine weitere Kugel der gleichen Farbe in die Urne zurückgelegt. Nach gutem Mischenwird abermals eine Kugel gezogen; sie sei rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die erste gezogene Kugel rot?

P(1. Rot | 2. Rot) = P(1. Rot und 2. Rot) / P(2. Rot) = (2/5 * 3/6) / (2/5 * 3/6 + 3/5 * 2/6) = 1/2