Führe dochdie Konstruktion in Gedanken weiter:
Zuerst 3 Seiten mit je der der Länge 1 also Gesamtlänge 3
Dann werden aus jeder Seite 4 neue, denn das mittlere Drittel kommt weg, also bleiben das erste und das letzte Dritel und es kommen die zwei dazu, die durch das zeichnen des neuen Dreiecks über dieser Seite entstanden sind. also hast du nach jedem Schritt 4 mal soviele Seiten wie vorher, allerdings haben alle nur noch ein drittel der alten Seite, also nach einem Schritt
4*3 Seiten von je 1/3
dann
4*4*3 Seiten von je 1 / 9
dann
4*4*4*3 Seiten von je 1/27
also nach n Schritten
3 * 4^n Seiten mit je einer Länge von 1 / (3^n)
gibt eine Gesamtlänge von
L(n) = 3 * 4^n * (1 / (3^n)) = 3 * (4/3)^n
Der zweite Faktor ist eine geometrische Folge mit q>1 also divergent.
Zu den Flächen:
Da kommt ja immer wieder was dazu
anfangs ist es (1/4)* √(3) * 1^2 (siehe Formel gleichseitiges Dreieck)
dann (1/4)* √(3) * 1^2 + 3* (1/4)* √(3) * (1/3)^2 denn es kommen 3 mit der Seitenlänge (1/3) dazu
dann
(1/4)* √(3) * 1^2 + 3* (1/4)* √(3) * (1/3)^2 + 3*4 * * (1/4)* √(3) * (1/9)^2
Denn auf jede der 12 (3*4) Seiten kommt ein neues Dreieck mit der Seitenlänge 1/9
dann:
(1/4)* √(3) * 1^2 + 3* (1/4)* √(3) * (1/3)^2 +
3*4 * (1/4)* √(3) * (1/3^2)^2+ 3*4*4* (1/4)* √(3) * (1/3^3)^2 usw.
ausklammern von 3* (1/16) * √(3) ab dem 2. Summanden gibt
(1/4) * √(3)+3* (1/16) * √(3) * ( 4*(1/3)^2 + 4*4 (1/9)^2 + 4 * 4*4*(1/27)^2 + .... )
= (1/4) * √(3)+3* (1/16) * √(3) * (4* (1/3)^2 + 4*4* (1/3)^4 + 4 * 4*4*(1/3)^6 + .... )
und in der Klammer ist die geometrische Reihe mit den Summanden von
der Form 4^n / 3^{2n} = (4/9)^n also q=(4/9 und die ist deshalb konvergent.
Das Ding heißt auch Sierpinksi Dreieck.