Dreieck in einer Ebene divergiert, polygon?

Question

!!

Sei P₀ ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 in der Ebene. Auf jeder der 3

Seiten errichte über dem mittleren Drittel der Seite ein nach außen zeigendes gleich- ¨

seitiges Dreieck, danach lösche die mittleren Drittel. Das so erhaltene Polygon P₁

hat also 12 Seiten der Seitenlänge $$\frac { 1 }{ 3 } $$

. Wende dieses Konstruktionsverfahren induktiv

an, um Polygone P₂, P₃, . . . zu erhalten. (P_n+1 entsteht also aus P_n, indem man für

jede Seite von P_n über dem mittleren Drittel der Seite ein nach außen zeigendes

gleichseitiges Dreieck errichtet und dann die mittleren Drittel entfernt.) Sei L_n die

Gesamtlänge des Polygons P_n und A_n der Flächeninhalt, der von P_n umschlossen

wird. Zeigen Sie, dass die Folge (L_n) divergiert, während die Folge (A_n) konvergiert.

Bestimmen Sie lim A_n. Die Kurve, die sich als Grenzkurve der Pn ergibt, hat also

unendliche Länge, umschließt aber eine endliche Fläche! Diese Grenzkurve ist ein

Beispiel eines sog. Fraktals.

Ich blick da nicht durch bitte Helft mir, wie löst man sowas??

Answer 1

Führe dochdie Konstruktion in Gedanken weiter:
Zuerst 3 Seiten mit je der der Länge 1  also Gesamtlänge 3
Dann werden aus jeder Seite 4 neue, denn das mittlere Drittel kommt weg, also bleiben das erste und das letzte Dritel und es kommen die zwei dazu, die durch das zeichnen des neuen Dreiecks über dieser Seite entstanden sind. also hast du nach jedem Schritt 4 mal soviele Seiten wie vorher, allerdings haben alle nur noch ein drittel der alten Seite, also nach einem Schritt
4*3 Seiten von je   1/3  
dann
4*4*3 Seiten von je 1 / 9
dann
4*4*4*3 Seiten von je 1/27

also nach n Schritten
3 * 4^n Seiten mit je einer Länge von   1 / (3^n)
gibt eine Gesamtlänge von
L(n) =  3 * 4^n   *  (1 / (3^n))   =  3 *  (4/3)^n 
Der zweite Faktor ist eine geometrische Folge mit q>1 also divergent.

Zu den Flächen:
Da kommt ja immer wieder was dazu
anfangs ist es   (1/4)* √(3) * 1^2    (siehe Formel gleichseitiges Dreieck)
dann    (1/4)* √(3) * 1^2    +  3* (1/4)* √(3) * (1/3)^2     denn es kommen 3 mit der Seitenlänge (1/3) dazu

dann

  (1/4)* √(3) * 1^2    +  3* (1/4)* √(3) * (1/3)^2 + 3*4 * * (1/4)* √(3) * (1/9)^2

Denn auf jede der 12 (3*4) Seiten kommt ein neues Dreieck mit der Seitenlänge 1/9

dann:

(1/4)* √(3) * 1^2    +  3* (1/4)* √(3) * (1/3)^2 +

3*4 *  (1/4)* √(3) * (1/3^2)^2+  3*4*4*   (1/4)* √(3) * (1/3^3)^2  usw.

ausklammern von 3* (1/16) * √(3) ab dem 2. Summanden gibt

(1/4) * √(3)+3* (1/16) * √(3) *  ( 4*(1/3)^2  +  4*4 (1/9)^2  +  4 * 4*4*(1/27)^2 + ....  )

= (1/4) * √(3)+3* (1/16) * √(3) *  (4* (1/3)^2  +  4*4* (1/3)^4  +  4 * 4*4*(1/3)^6 + ....  )

und in der Klammer ist die geometrische Reihe mit den Summanden von

der Form   4^n / 3^{2n} = (4/9)^n   also q=(4/9  und die ist deshalb konvergent.

Das Ding heißt auch Sierpinksi Dreieck.