Vollständige Induktion: Σ (i = 1 bis n - 1) (i / (i + 1)!) = (n! - 1) / n! für n ≥ 2

Question

Mittels vollständiger Induktion beweisen:

\( \sum \limits_{i=1}^{n-1} \frac{i}{(i+1) !}=\frac{n !-1}{n !} \) für alle \( n \in \mathbb{I N}, n \geq 2 \)

Ansatz:

Den Induktionsanfang hab ich und die Behauptung habe ich auch eingesetzt:

n/(n+1)!+ n!-1/n! = n!-1/n!

ich hab rechts nur n stehen und kein n+1 weil der ursprüngliche n ja n-1 heist dadurch fällt 1 weg wenn man in n , n+1 einsetzt (n+1-1=n)

Ich weiß nicht, wie ich das umformen soll und wie ich mit Fakultäten ausmultiplizieren kann.

Answer 1

Σ (i = 1 bis n - 1) (i / (i + 1)!) = (n! - 1) / n! für n ≥ 2

Induktionsanfang n = 2

Σ (i = 1 bis 2 - 1) (i / (i + 1)!) = (2! - 1) / 2!

(1 / (1 + 1)!) = 1/2

1/2 = 1/2

Induktionsschritt n --> n + 1

Σ (i = 1 bis (n + 1) - 1) (i / (i + 1)!) = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

Σ (i = 1 bis n) (i / (i + 1)!) = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

Σ (i = 1 bis n - 1) (i / (i + 1)!) + n / (n + 1)! = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

(n! - 1) / n! + n / (n + 1)! = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

(n! - 1)·(n + 1) / (n + 1)! + n / (n + 1)! = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

((n + 1)! - (n + 1)) / (n + 1)! + n / (n + 1)! = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

((n + 1)! - (n + 1) + n) / (n + 1)! = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

((n + 1)! - 1) / (n + 1)! = ((n + 1)! - 1) / (n + 1)!

wzbw.