Beweisen Sie: (sin, cos)

Question

$$(a)\quad { sin }^{ 2 }(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } (1-cos(2x))\\ (b)\quad { cos }^{ 2 }(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } (1+cos(2x))\\ (c)\quad sin(2x)\quad =\quad 2sin(x)cos(x)\\ (d)\quad sin(x)+sin(y)\quad =\quad 2sin(\frac { x+y }{ 2 } )cos(\frac { x-y }{ 2 } )\\ (e)\quad cos(y)-cos(x)\quad =\quad -2sin(\frac { y-x }{ 2 } )sin(\frac { x+y }{ 2 } )\\ (f)\quad Für\quad z=\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \quad gilt\quad { z }^{ 6 }=1$$

Bitte auch hier keine vollständigen Lösung geben sondern vorerst nur Ansätze. Möchte lernen wie ich hier rangehen muss ;)

Answer 1

Dürft ihr die Additionstheoreme benutzen ? Dann wäre das nicht wirklich schwierig. Ansonsten kannst du dir erstmal die Additionstheoreme herleiten.

Comments

So würde ich eventuell unter a verfahren

Beweis: SIN(x)^2 = 1/2·(1 - COS(2·x))

COS(2·x) = COS(x)^2 - SIN(x)^2

COS(2·x) = (1 - SIN(x)^2) - SIN(x)^2

COS(2·x) = 1 - 2·SIN(x)^2

2·SIN(x)^2 = 1 - COS(2·x)

SIN(x)^2 = 1/2·(1 - COS(2·x))

---

Danke für deine Hilfe :)

Kannst du mir sagen, wie du von sin(x)^2 = 1/2*(1-cos(2x))  auf cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 kommst?

tut mir leid für die dumme Frage, aber ich hab die ganze Zeit versucht das zu verstehen Klappt nicht :/

---

Geh die Umformungen einfach Rückwärts durch.

Also fang mit der untersten Zeile an und arbeite dich nach oben durch. Ich habe mal mit COS(2x) angefangen weil ich dort das Additionstheorem kenne und der Ausdruck im Term der zu zeigen war auftritt. Ein paar umformungen und schon hatte ich das Ergebnis.

Es ist bei einem Beweis eigentlich egal ob du mit dem zu beweisenden Term anfängst und dann zeigst das etwas herauskommt von dem Du weißt das es wahr ist oder ob du mit etwas warem beginnst und zeigst das du den in den Term verfandeln kannst, den du zeigen willst.

---

hat jdn bitte eine idee zu f)  ?

Danke !

---

Was ist der Betrag von z und was ist der Winkel von z? Was passiert wenn man z potenziert mit dem Betrag und mit dem Winkel ?

---

Das wäre meine Idee zu f

---

Also dann hätte man eher mit dem Pascalschen Dreieck arbeiten können

(a + b)^6 = a^6 + 6·a^5·b + 15·a^4·b^2 + 20·a^3·b^3 + 15·a^2·b^4 + 6·a·b^5 + b^6

Aber das ist viel zu kompliziert. Ich würde eher über die e-Darstellung gehen wenn die bekannt ist.

1/2 + i·√3/2 = e^{pi/3·i}

(1/2 + i·√3/2) = (e^{pi/3·i})^6 = e^{2·pi·i} = 1

Hier macht man sich nicht mal die Finger schmutzig und hat viel weniger arbeit.