Das ist ja nur der Fall für zwei Ereignisse, die Definition für mehr Ereignisse geht so:
\(A_1,\dots,A_n\in \mathcal{A}~unabhängig :\Leftrightarrow\forall I \subset \{1,\dots, n\}:P(\bigcap_{i\in I} A_i) = \prod_{i\in I} P(A_i)\).
Die geschweiften Klammern sagen nicht viel aus, du sollst eben nur zeigen, dass die Ereignisse \(A,B,C\) genau dann unabhängig sind, wenn die Ereignisse \(A\cup B, C\) unabhängig sind.
\("\Rightarrow"\) Seien \(A,B,C\) unabhängig. Zu zeigen: \(A\cup B, C\) unabhängig, d.h. \(P( (A\cup B) \cap C) = P(A\cup B) P(C)\). Jetzt bist du wieder dran.
Tipp: Das Argument in \(P( (A\cup B) \cap C)\) musst du mittels Distributivgesetz umformen. Außerdem musst du die allgemeingültige Identität \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) \) beachten.
