"Wir definieren nun so wie in der Vorlesung die Addition + auf ℝ wie folgt: Für R, S ∈ ℝ ist
R + S = {r + s : r ∈ R, s ∈ S }
wobei die rationalen Zahlen r, s ∈ ℚ mit der Addition + in ℚ addiert werden.
a) Zeigen Sie, dass O = { x ∈ ℚ : x > 0} das neutrale Element der Addition in ℝ ist.
Ich nehme mal an, dass ihr in der Vorlesung reelle Zahlen als
Mengen von rationalen Zahlen definiert habt, etwa so
wurzel(2) ist die Menge aller rationalen Zahlen , deren Quadrat > 2 ist.
Die heißen auch schon mal Dedekindsche Schnitte.
wenn du die Gleichheit zweier solcher Mengen zeigen willst, kannst du so
vorgehen: sei R eine reelle Zahl und O wie angegeben, dann
musst du zeigen R + O = R
Sei also x aus R+O dann gibt es r aus R und s aus O mit x=r+s.
Da s>0 ist, gilt auch r+s > s und damit auch in R.
Sei x aus R und nimm an x nicht aus R+O, usw.
dann gibt es ein y aus R und ein s aus O geben mit y+s < x
Das musst du zu einem Widerspruch führen, dazu
bräuchte man aber eure genaue Definition der reellen Zahlen.
b) Zeigen Sie, dass die Menge - R = {x ∈ ℚ: ∀ r ∈ R : x > - r} das inverse Element zur Menge R ∈ ℝ ist."
