Grenzwert bestimmen: Lim(x->∞) (1+1/n)^n. Wann Hospital erlaubt / sinnvoll?

Question

Mir ist glaub nicht immer bewusst wann ich l'hospital anwenden muss bzw. kann.

Soweit ich weiss

Bei a/0 und  0/0 und unend/unend und 0 mal unrndlich

Jetzt frage auch bei unendlich mal unendlich?

Ich hatte eine aufgabe

Lim(x->unend) (1+1/n)^{n}

8ch habe gemacht e^{x*ln(1+1/x)}

=e^{unend mal unendlich}

Muss ich unbedingt den x als bruch darstellen?

(Sage dass nur weil ich es im Lösungsweg so gesehen habe)

Answer 1

Hi,

auch wenn ich selber nicht so Hand in Hand mit Grenzwertaufgaben bzw. l'hospital bin, habe ich damit schon einige male Erfahrung gemacht :)

Du kannst l'hospital NUR anwenden, wenn ein Quotient vorliegt, also ein Bruch! und wenn der Zähler gegen den selben Grenzwert wie der Nenner konvergiert oder Divergiert, also einfach 0/0 oder ∞/∞ vorliegt, dann kannst Du l'hospital anwenden :)

Zu deiner Aufgabe: Du solltest wissen, dass diese Folge gegen e konvergiert, also gegen die Eulersche Zahl

Außerdem verstehe ich nicht, wieso lim_x->∞ schreibst, wenn in deiner Folge nur n's sind?

Ich würde das so aufschreiben mittels e-Funktion

e^nln(1+1/n)

Wenn ich das so bei Wolframalpha eingebe, kommt als Grenzwert e raus, also sollte meine schreibweise Richtig sein......vermute ich :)

Soweit ich das richtig sehe, liegt hier das vor ∞*0 und das kannst Du mit einem Trick umformen...das hatte mir mal Unknown gesagt, aber ich habs vergessen ^^

Mir ist es eingefallen^^

Ich zeig dir mal meine Rechnung. Natürlich wie immer Angaben ohne Gewähr!

lim_n->∞ (1+1/n)ⁿ umschreiben mittels E-Funktion a=e^ln(a)

lim_n->∞ e^nln(1+1/n) wie ich schon oben gesagt habe, liegt hier ∞*0 vor, also kannst Du das umformen

lim_n->∞ e^{ln(1+1/n)/1/n} Nun siehst Du, dass Zähler als auch Nenner gegen 0 konvergieren, also ist l'h anwendbar ;)

Nun bildest Du die Ableitung (Zähler und Nenner einzel(!) ableiten ;)

Vergleiche mit Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_n-%3Eoo+e^%28%28ln%281%2B1%2Fn%29%29%2F%281%2Fn%29%29

Meine Schritte sollten also bis hierhin Richtig sein........vermute ich :)

Kommst Du ab hier alleine weiter?

Angaben ohne Gewähr!

Viel Spaß :)

Comments

Ich danke dir

Aber da muss 1 rauskommen.

Und das mit x kann man ja unbennen.

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Hi,

du meinst sicherlich, dass im Exponent 1 rauskommen muss? e¹ = e also ....

ja kann man, aber ich habs nur gesagt :)

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Sehr gute Antwort! :)

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Jaaawooooooooooooolllllllllllllllllllllllllllllll das wollte ich hören Unknown :)

und das habe ich gaaaaaaaaaaaaaaaanz alleine gemacht!!!!! :)

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Ich hab im lösungsbuch

e^{0}=1 und nicht  e^{1} raus.

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Ahso...ja dann vermute ich mal, dass Du beim ableiten Fehler gemacht hast?

Aber die Folge (1+1/n)^n konvergiert gegen e und nicht gegen 1?

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Hier lösungsblatt

Ich versthe halt auch Lösungsweg  nicht so gut.

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Ich sehe kein Bild :)

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Ich hab das im Lösungsweg so

Nicht 8ch^^

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Ah es kam nicht an hier nochmal.

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Ich kann die Rechnung nur bedingt nachvollziehen. Wenn ich die Folge auf Wolframalpha eingebe, kommt als Grenzwert e raus und nicht 1 und das kenne ich auch so, dass da e raus kommt.

Vielleicht kann uns ja Unknown weiter helfen?

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Nur mal kurz am Rande: Ist das hier Schulniveau oder schon Uni? Interessiert mich mal :)

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Uni

Aver ob es auch im abi vorkommt weiss ich nicht.

Aber selbst wenn ist es in abi nicht pruefungsrelevant.

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Du hast alles richtig gemacht, Emre.

Der Fehler liegt bei immai. Er stellt die Frage für (1+1/n)^n will aber eigentlich (1+1/n^2)^n wissen.

@immai: Deine Arbeitsweise ist mir schon ziemlich oft als sehr unsauber aufgefallen. Mir persönlich ist das egal und es soll deshalb kein "Anschiss" sein. Doch so verbaust Du Dir sehr viel :(. Auch hast Du Schwierigkeiten mit den einfachsten Grundlagen!

Meine Empfehlung: Suche Dir eine Nachhilfe vor Ort und arbeite die Defizite nach. Zudem arbeite an sauber Arbeitsweise!

:)

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Danke für die kritik unknown

Aber das ist von der uni^^

Das habe nicht ich geschrieben.

Und das mit den grundlagen kann schon teilweise sein.

Da ich hier ohne prof lerne, kann es schonmal passieren das ich etwas nicht genau lerne.

Ich versuche diese luecke hier zu fuellen.

Das ist für mich alles neuland.

Auch habe die das thema grenzwert aufgaben selber angeeignet ohne gescheid skript sehen oder verstehen zu koennen.

Es liegt aber auch daran das unser skript mit luecken sind, die man im unterricht aussfuellt.

Und da ich bekannterweise nicht dorthin kann.

Kann es passieren das mir sachen entgehen.

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Auch erschwert sich der umgang mit dem Handy.

Es ist ziemlich schwer muss ich zugeben ohne einen lehrer^^

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Aber das ist von der uni^^

Das habe nicht ich geschrieben.

Es geht auch nicht um die Fotographie. Die ist in Ordnung. Da sage ich nichts.

Schlimmer ist Deine Nachlässigkeit. Hier ein Quadrat vergessen. Und bei vielen anderen Anfragen kommen auch nur Teilstücke einer Aufgabe.

Ich mein, wenn man mal das Quadrat vergisst, bin ich der letzte der motzt, aber bei Dir ist das die Regel. Und wie gesagt...ich mag zwar gerade etwas direkt sein, aber nur in Deinem Interesse! ;)

Dass Du schon vorauslernen möchtest oder was auch immer, ist ja in Ordnung. Aber auch darauf bezog ich mich wieder nicht, sondern auf das Fehlen der Grundlagen!

Und das mit den grundlagen kann schon teilweise sein.

Das würde ich nicht auf die leichte Schulter nehmen!

Bin aber nun im Bett,

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Yokai

Ich werde mich versuchen ordentlicher zu schreiben.

Zu den grundlagen

Koenntest du bitte beispiele nennen, damit ich weiss, was genau gemeint ist.

Normalerweise mache ich selten grundlagen fehler(so lange ich auch sauber arbeite)

Danke dir und ich weiss dass du es nur gut meinst.;)

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Ich habe jetzt die aufgabe versucht die die auch emre gemacht hat.

Ich habe auch auf eine saubere schreibweise bemüht.

Habe ich bis zum bild richtig gerechnet?

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Meine Lösung . Denke ich habe

Jetzt sauber und richtig gearbeitet.

Ich hoffe du kritisierst mich weiterhin und wenn ich meine fehler bzgl. Der grundlage und saubere arbeitsweise verbesserst siehst, mir auch bescheid gibst^^.

Danke  nochmal

Gute nacht

Immai

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Ich habe grad gesehen das meine Lösung nicht hochgeladen wurde.

Hier:

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Hab jetzt zwar nicht alles auf die kleinste Einzelheit hin verfolgt, sieht aber recht gut aus. So siehts auch sauber aus. Den Limes überall mitgezogen etc ;).

Ich hoffe du kritisierst mich weiterhin und wenn ich meine fehler bzgl. Der grundlage und saubere arbeitsweise verbesserst siehst, mir auch bescheid gibst^^.

Wenn Du mir das nicht bös nimmst, werde ich das verstärkt machen ;).

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Danke ;)

Ich wuerde mich freuen,  schliesslich kann ich dadurch besser werden.

Vllt hatte ich ja wirklich in letzter zeit zu unsauber gearbeitet.

Ich bin in mathe eig. Ganz fit was grundlagen angeht oder auch wenn es zum verständnis geht.

Was mir bissle schwerfällt sind neue sachen, die ich komplett alleine lernen muss.

Gruesse

Immai

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Immai darf ich fragen...wie Du Mathe studierst? Also Du hattest geschrieben ohne Professor? Oo

Das hat mich nur interessiert :)

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Ich bin im urlaubsemester, da darf man nicht in die vorlesungen rein.

Also lerne alleine. Nur skript ohne lehrer.

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Ahso verstehe. Viel Erfolg

Answer 2

L'Hospital kann man immer nutzen, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind. Allerdings sind das ziemlich viele und die werden sehr gerne vergessen. Auch hier im Forum habe ich bis jetzt nur fahrlässigen Umgang in dieser Hinsicht erlebt. Aufgrund der Anzahl der Voraussetzungen meide ich persönlich L'Hospital eher, in der Regel gehts auch mit anderen Tricks oder z.B. Taylorreihen (mindestens) genau so schnell.

Hier mal L'Hospital mit Voraussetzungen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital#Pr.C3.A4zise_Formulierung

Und hier mal eine kleine Aufgabe:

$$ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin(x)+2x}{\cos(x)+2x}=? $$

Comments

Ich habe es gemacht

Komme auf unend/unend. Dann abgeleitet

(-1) lim(x->unend) cos(x)+2/sin(x)+2

Überlegung da sin oder cos max 1 und -1 annehmen kann

Werte wie 3/2 oder 1/2 annhemen kann

Aber ein klares ergebnis habe ich leider nicht.

Danke

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Richtig, denn der Grenzwert mit den Ableitungen drin konvergiert nämlich nicht und divergiert nicht bestimmt. Folglich erfüllt er nicht die Voraussetzungen für die Regel von L'Hospital. Siehe auch Wikipedia. Das Teil konvergiert aber gegen 1.

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Ich habe aber doch einmal abgeleitet^^.

Ansonten muesste ich denn was als ergebnis schreiben?

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Ja aber bei L'Hospital muss dann nach dem ableiten entweder ein Grenzwert rauskommen, bestimmte Divergenz rauskommen oder etwas rauskommen, wo man wieder L'Hospital anwenden kann. Schau dir noch mal genau die Voraussetzungen an bei https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital#Pr.C3.A4zise_Formulierung .

Die sind hier nicht erfüllt, auch wenn das Beispiel auf den ersten Blick den Anschein erweckt. Und deswegen rate ich auch prinzipiell von L'Hospital ab, weil man da wirklich genau aufpassen muss und es wie gesagt meistens eh unnötig ist.

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Habe ich also mit einmal ableiten etwas falsches gemacht?

Und war meine überlegung aber richtig?

Und was hättest du dann in der arbeit als antwort geschrieben?

Und wie soll ich dann aufgaben ohne l'hospital loesen?

Ich denke mal das die aufgaben immer zurecht gemacht werden sodass man lopital verwenden darf.

Ich werde mal eine frage reinstellen mit dem link.

Wo ich dann satz für satz frage was bedeutet.

Denn ich verstehe nur teilweise und teilweise nur bahnhof.

Danke

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Das ist jetzt alles nur auf das Beispiel von mir bezogen:

Also Voraussetzungen für L'Hospital sind (unter anderem):

$$ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = \infty \text{ und } \lim_{x\rightarrow\infty} g(x) = \infty \text{ d.h. } \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = "\frac{\infty}{\infty}" $$

(oder beide 0 aber hier ists halt unendlich).

L'Hospital sagt nun:

WENN \(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existiert,

dann und nur dann, gilt \( \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} \).

In meinem Beispiel oben ist jedoch \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \) unbestimmt divergent, also kannst du dort L'Hospital nicht anwenden. Und das obwohl es ja auf den ersten Blick so wirkt.

Habe dir das nur als Beispiel gestellt, damit du siehst, dass man bei L'Hospital mit den Voraussetzungen sehr vorsichtig sein muss und damit nicht so fahrlässig umgehen sollte wie es die meisten Leute (auch hier im Forum) tun. Stattdessen solltest du dir, wenn du L'Hospital benutzen willst, immer kurz Gedanken machen, ob die Voraussetzungen wirklich erfüllt sind.

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Ok dankr das habe ich verstanden.

Aber auch für 0 mal Unendlich oder zahl durch null?

Und das wichtigste wie soll ich dann eine aufgabe loesen?

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Du kannst L'Hospital genau so nutzen wie du es immer tust, ich wollte dir damit nur sagen, dass du dir dabei jedoch Gedanken machen solltest, ob die Voraussetzungen erfüllt sind und nicht einfach blind den Satz benutzt. Denn sonst fällst du früher oder später auf die Nase.

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Ah ok

Ich danke

Ich muss dann weiter ueben

Gruesse

Immai