Maximale Fläche eines Rechtecks zwischen 2 Funktionen bestimmen

Question

Wie bestimmt man den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zum Beispiel zwischen zwei Funktionen?

Wir hatten eine Aufgabe mit den Funktionen f(x)=-1/64x^4+1/8x²+2 und g(x)=1/8x²-2 und sollten die Seiten a und b des Rechtecks so bestimmen, dass der Flächeninhalt maximal wird. Wie groß die Fläche dann ist und die Längeneinheit in Metern abgeben. (Wir hatten dazu noch eine Zeichnung mit den beiden Graphen die zusammen die Form eines Mundes bilden und darin war ein Rechteck eingezeichnet)

Leider weiß ich bei dieser Aufgabe, sowie auch bei allen anderen Aufgaben dieser Art nicht weiter. Wäre sehr nett wenn mir einer die Aufgabe erklären könnte und vielleicht auch allgemein erklären könnte wie man so Aufgaben löst.

Vielen, vielen Dank schonmal

Answer 1

Um den x-Wert zu finden, bei dem das einbeschriebene Rechteck maximalen Flächeninhalt hat, macht man sich die Eigenschaft der 1. Ableitung zu nutze, mit der man Extrempunkte von Funktionen ermitteln kann. Dazu setzt man die 1. Ableitung 0. Man löst die Gleichung nach x auf.

Nach dem das bekannt ist, muss man eine Funktion aufstellen, mit der man den Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks bestimmen kann. Hier ist das x mal die Differenz der Funktionen f(x) - g(x) (blau: f(x), rot : g(x) ). Die Differenz liefert die Länge der Kante parallel zur y-Achse, x die Länge der Kante parallel zur x-Achse.
Die Fläche eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen.
Da die Funktionen symmetrisch zu y-Achse sind wird hier nur der rechte Teil betrachtet. Das Ergebnis ist das selbe.

h(x) = ( f(x) - g(x) ) * x = -1/64 * x^5 + 4x
h'(x) = -5/64 * x^4 + 4 = 0
x₁ = +4 / 5^{1/4}
x₂ =  - 4 / 5^{1/4}