komplexe Folge auf Konvergenz untersuchen: a_n: = ((1+i) / (1-i) )^n

Question

Untersuchen sie die Folge:    a_n = ((1+i) / (1-i) )^n  ,  n ∈ ℕ   auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

Die ist ja nicht anderes als (1+i)^n / (1-i)^n

für n = 1 folgt (1+i )/ (1-i)

für n = 2 folgt 2i / (-2i) = -1

für n = 3 folgt (2i - 2) / (-2i - 2) = 1 / -1 = -1

für n = 4 folgt (2i * 2i) / ((-2i) * (-2i)) = (4 ) / (-4) = 1

wie komm ich jetzt weiter?

Answer 1

(1+i)/(1-i)     |erweitern mit 3. Binom

= ((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))

= (1 + 2i -1)/(1 +1) = 2i/2 = i.

i^k = 1 für k= n*4, n Element Z

i^k = i für k= n*4  + 1, n Element Z

i^k = -1 für k= n*4 + 2, n Element Z

i^k = -i für k= n*4 + 3, n Element Z

Da die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgengliedern keine Nullfolge ist, konvergiert die Folge nicht.

Answer 2

n = 3 ist falsch bei dir.

Wenn deine Folge die Form hat

$$ a_n := \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^n $$

Dann solltest du dir zuerst vielleicht überlegen, dass

$$ \frac{1+i}{1-i} = i $$

und welche Auswirkungen, dass auf deine Folge hat.

Tipp: Wenn eine Folge konvergiert, dann konvergieren alle ihre Teilfolgen gegen denselben Grenzwert.

Gruß