lokale Extremstellen berechnen von ((1-x)^2/(1+x)^2)+1

Question

hier meine Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : ℝ \ {-1} →ℝ  definiert durch

f (x) = ((1-x)^2/(1+x)^2)-1

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und stellen Sie fest, auf welchen Bereichen sie monoton steigend bzw. monoton fallend ist.

Die erste Ableitung habe ich bereits gemacht und komme auf

(4x-4) / (x+1)³

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?
Wenn ich es richtig verstehe, dann muss ich als nächstes die Nullstellen berechnen, aber wie mache ich das? Eine pq-Formel kann ich hier wohl nicht anwenden.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.

Answer 1

(4x-4) / (x+1)³ = 0

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 und der Nenner nicht auch noch 0 ist.

Löse also 

4x -4 = 0 nach x auf und du hast die Nullstelle der Ableitung, wenn du richtig abgeleitet hast.

Comments

Hallo Lu,
vielen Dank für die schnelle Antwort.

OK, demnach ist X₀=1

Nun berechne ich die 2. Ableitung und erhalte

(-8 (x-2))/((x+1)⁴)

Setzte ich dann x₀=1 in die 2. Ableitung ein erhalte ich

f'' (1) = 1/2 > 0 ; somit handelt es sich um ein lokales Minimum (lokales Extrema), richtig?

Aber wie kann ich jetzt eine Aussage über die Monotonie treffen?

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Kontrolliere am besten damit https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28%281-x%29%5E2%2F%281%2Bx%29%5E2%29-1

Minimum ist schon mal gut.

Rest kannst am einfachsten an den Graphen überlegen.

Alternativ und mühsam: Ungleichungen lösen.

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Hallo Lu,
also das die Formeln und Werte passen habe ich bereits kontrolliert.

Allerdings weiß ich nicht, was ich mit dem Link (https://www.wolframalpha.com/input/?i=f+x++%3D++++%28%281-x%29^2%29%2F+%28%281%2B+x%29^2%29%29+-1) anfangen soll? (habe die Formel übrigens leicht korrigiert)

Mit fehlt ein Hinweis, wie ich eine Aussage über die Monotonie treffen kann und den kann ich unter dem oberen Link leider nicht finden, bzw. ich muss ja rechnerisch eine Aussage treffen können und nicht anhand eines Graphen.