a) Zeigen Sie, dass tatsächlich f+g ∈End(G)
seien f,g aus End(G),
dann gilt für alle z1, z2 aus G f(z1+z2) = f(z1) + f(z2) [Hom-Eigenschaft]
also (f+g)(z1+z2) = f(z1+z2)+g(z1+z2) [Def von +]
= ( f(z1) +f(z2) )+ ( g(z1) +g(z2) ) [f,gbeide Hom]
= ( f(z1) +g(z1) )+ ( f(z2) +g(z2) ) wegen ass und Kom in G abelsch! hier wichtig!
= (f+g)(z1) + (f+g)(z2) [ 2 x Def von +]
also Hom-Eigenschaft auch für f+g nachgewiesen.
b) Zeigen Sie,dass (End(G),+,°) ein Ringe mit 1 ist, wobei ° die Komposition von Abbildungen bezeichne
musst du alle Ringaxiome nachweisen und 1 ist die identische Abbildung
id : G ------> G mit id(x) = x für alle x aus G
musst du natürlich zeigen: Das ist auch ein Hom und somit aus End(G).
c) Zeigen Sie, dass (End(Z2*Z2,+,°)) weder kommutativ noch nullteilerfrei sind.
Der Nullendomorphismus ist der, der alle Paar auf (0,0) abbildet.
Sei nun f der Endom. mit f(1,0) = (0,1) und f(a,b)=(0,0) sonst.
Das ist wirklich einer (muss man zeigen)
Dann ist f*f(1,0)= f( 0,1) = (0,0) und für die anderen Paare
ist eh immer (o,o) das Ergebnis, also f*f=0 und f ungleich 0,
also f Nullteiler.
und es sind in End(z2*z2) auch
f mit
(0,0) → (0,0)
(0,1) -----> (1,0)
(1,0) -----> (0,1)
(1,1) -----> (1,1)
g mit
(0,0) → (0,0)
(0,1) -----> (0,1)
(1,0) -----> (0,1)
(1,1) -----> (0,0)
dann ist f*g
(0,0) → (0,0)
(0,1) -----> (1,0)
(1,0) -----> (1,0)
(1,1) -----> (0,0)
und g*f
(0,0) → (0,0)
(0,1) -----> (0,1)
(1,0) -----> (0,1)
(1,1) -----> (0,0)
also f*g ungleich g*f
