Question

Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmen:

\( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} \)

Ansatz:

\( det(A - \lambda I) = 0 \)
\( \operatorname{det}\left|\left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ -4 & 4\end{array}\right)-\lambda\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right|=0 \)
\( \operatorname{det}\left|\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -4 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} \lambda & 0 \\ 0  & \lambda\end{array}\right)\right|=0 \)

\( \operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{c}-1-\lambda \\ -4\end{array} + \begin{array}{c}1 \\ 2-\lambda \end{array} \right) \mid=0\right. \)
\( (-1-\lambda)-(4-\lambda)-(-4)-1=0 \)
\( -4+\lambda-4 \lambda+\lambda^{2}+4=0 \)
\( \lambda^{2}=3 \lambda \)

Answer 1

DET([-1 - k, 1; -4, 4 - k]) = k^2 - 3·k = k·(k - 3) = 0

k = 0 oder k = 3

Damit sind die Eigenwerte 0 und 3

Answer 2

bei einer quadratischen Gleichung ist dies nicht wirklich überraschend.

$$ \lambda^2 - 3\lambda = 0 $$

$$ \lambda (\lambda - 3) = 0 $$

$$ \lambda = 0 \vee \lambda = 3 $$

Du kriegst 2 Lösungen für \( \lambda \)

Gruß

Answer 3

alles fast richtig:

Lambda = L

es steht am Ende :

L^2-3L = 0                hier faktorisieren wir ein L

L(L-3) =0                  Produkt ist null wenn ein Faktor Null

Für das erste L folgt direkt L=0

Für das zweite L folgt L-3=0 also L=3 

Comments

und dann die zugehörigen vektoren

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zu L=0 löst Du richtig. Also x=beliebig und y=x, ein Eigenvektor wäre zB (1 1)^T

zu L=3 kann ich es nicht genau erkennen aber dort wird auf die selbe Art: x= beliebig und y=4x, Eigenvektor zB (1 4)^T

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okay super danke

ja bei L = 3 hab ich für x umgeformt und mir kam dann x = -y / 4 raus und bei y = 4x

=)

danke danke