Bestimmen Sie die Suprema und Infima und, falls sie angenommen werden, auch die Maxima bzw. Minima der Funktionen.

Question

(a) f : [0, 3[→ R, f(x) = (x−2)/((3-x)²)

(b) f : R → R, f(x) = (x+ 1/2)/(x²+2)

Answer 1

schreib das Bild der Funktion als Intervall, dann kannst du die Ergebnisse ablesen.

Gruß

Answer 2

da ein intervall immer auf ein intervall abbildet, rechnest du für die Suprema und infima die Funktionswerte der Intervallgrenzen aus, bzw. führst bei halboffenen oder offenen Intervallen eine entsprechende Grenzwertbetrachtung durch. Lokale Minima und Maxima bekommst Du über die Ableitungen, Du musst jedoch noch prüfen, ob diese in dem Wertebereich  liegen, der sich aus dem Intervall ergibt. Globale Maxima oder Minima sind gleichzeitig auch Suprema bzw. Infima

zu a: Intervall ist halboffen, f(0)=-2/9 , Limx->3 f(x)=unendlich, f'(x)=0 -> x=7/3 -> f(7/3)= Minimum,global = infimum, kein supremum

zu b: Intervall ist offen, Lim x-> ±unendlich f(x)=0, f'(x)= -> x1 = -2 minimum, global -> f(-2)=infimum und x2=1 maximum, global-> f(1)= supremum