Kurvendiskussion einer Funktion durchführen

Question

Ich muss zur folgenden Funktion

f(x) = x + e ^ ( - x)

unter berücksichtigung vom

- Defintionsbereich
- Symmetrie
- Extremwerte
- Wendepunkte
- Krümmung

eine Kurvendiskussion durchführen



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Der Definitionsbereich wäre denke ich alle Reellen Zahlen. Da bin ich mir jedoch nicht sicher, da ich nicht genau weiß, wie man den Definitionsbereich bestimmt.

Beim Symmetrieverhalten gibt es ja zum einen die Punktsymmetrie und zum anderen die Achsensymmetrie. Das wird so bestimmt:

f(x) = f(-x) wäre die Achsensymmetrie

-f(x) = f(-x) wäre die Punktsymmetrie

Also muss ich ja die Funktion f(-x) bestimmen

f(x) = x + e ^ ( - x)

f(x) = - x - e ^ (-x)

Dann die Funktion -f(x)

-f(x) = - [ x + e ^ ( - x) ]

-f(x) = -x -e ^ (-x)

Es würde sich also um Punktsymmetrie handeln. Ich bin aber nicht sicher, ob ich es richtig bestimmt habe.

Für die Extremwerte brauche ich ja die 1. Ableitungsfunktion

f´(x) = 1 + e ^ (-x)

Da eine e-funktion immer gleich bleibt

Die zweite Ableitungsfunktion wäre dann ja

f´´(x) = e ^ (-x)

Dann brauche ich ja noch die dritte Ableitung für die hinreichende Bedingung für die Wendepunkte

f´´´(x) = e ^ (-x)

Bleibt das dann so wie bei der 2. Ableitung? Wir haben im Unterricht gelernt, dass eine e-Funktion immer gleich bleibt.

Jetzt mein Problem: Ich bin mir bei meinen bisherigen Ansätzen unsicher und weiß auch nicht, wie man die Nullstellen dieser e-Funktion bestimmt.

Krümmungsverhalten weiß ich auch nicht genau

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand etwas weiter helfen könnte

Answer 1

es liegt keine Punktsymmetrie vor, da Du ja für f(-x) nen positiven Exponenten hast ;).

Liegt insgesamt keine Symmetrie vor.

Die Ableitung ist falsch. Die e-Funktion selbst verbleibt zwar wie sie ist, aber die Kettenregel wirkt trotzdem, also die innere Ableitung muss runter.

f(x) = x+e^{-x}

f'(x) = 1-e^{-x}

f''(x) = e^{-x}

f'''(x) = -e^{-x}

Willste von da an mal selbst weiter probieren? Ich schau drüber ;).

Grüße

Comments

Danke erstmal, kannst du mir vielleicht sagen, wie man auf die 3. Ableitung kommt ?

Für die Extrema muss ich ja jetzt die 1. Ableitung 0 setzen

f´(x) = 1-e^-x

-x = In(0)

und wie mach ich jetzt weiter oder ist das schon falsch ?

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f''(x) = e^{-x}

f'''(x) = (-x)' * e^{-x} = -e^{-x}

Also Kettenregel anwenden, was bedeutet die Ableitung des Exponenten als Faktor voranzustellen.

Das ist falsch, was man sofort daran sieht, dass ln(0) gar nicht definiert ist^^.

f'(x) = 1-e^{-x}

e^{-x} = 1

-x = ln(1)

x = 0

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Also gibt es einen Extremwert bei (0/0)

Und das ist ein Tiefpunkt, weil es größer als 0 ist, wenn ich es in die 2. Ableitung einsetze

Wendepunkt:

f''(x) = e^-x

0 = e^-x

Aber wie bestimme ich jetzt die NST der Ableitung ?

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Nope, der Extremwert ist (0|1). Du musst x = 0 in f(x) einsetzen ;).

Wendepuntk gibt es nicht, da die e-Funktion nicht 0 wird.

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ach ja danke

Kannst du mir noch mit dem Krümmungsverhalten helfen ?

Es gilt doch Rechtskrümmung f " <0 und Linkskr. f " >0

Kann ich das Krümmungsverhalten überhaupt bestimmen, wenn die 2. Ableitung keine Lösung hat ?

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Yup, das zur Krümmung ist richtig.

Wieso denn nicht? Nur weils nicht 0 werden kann heißt es ja noch lange nicht, dass es nicht negativ oder positiv ist. Im Notfall einfach mal was einsetzen^^.

Die zweite Ableitung ist auf Vorzeichen zu untersuchen. Hier stets f''(x) > 0 -> Linkskrümmung.

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Aber wie bestimme ich jetzt die Bereich vom Krümmungsverhalten ?

Ich dachte das wären die Nullstellen der 2. Ableitung

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Sry habe gerade Nachhilfe gegeben ;).

Nein, nicht die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen, sondern ob f''(x)>0 und f''(x)<0 ist. (Da hab ich oben tatsächlich en Fehler gemacht (korrigiert)) aber hat nichts mit f''(x) = 0 zu tun. Hier gibt es nur eventuell eine Änderung des Krümmungsverhaltens. Also das Vorzeichen ändert sich vielleicht und damit wird aus der Linkskrümmung eine Rechtskrümmung ;).