Zeige, dass es k Indizes 1<= i1...,ik<= m ... gibt

Question

Es sei $V$ ein Vektorraum über $K$ mit $\operatorname{dim} V=n$. Weiter seien $W_{1}, \ldots, W_{m}$ Unterräume von $V$ mit $\operatorname{dim} W_{i}=n-1$ für $1 \leq i \leq m$ und $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap \ldots \cap W_{m}\right)=n-k$ gegeben.

Zeige, dass es $k$ Indizes $1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq m$ mit $W_{i_{1}} \cap \ldots \cap W_{i_{k}}=W_{1} \cap \ldots \cap W_{m}$ gibt. (4 Punkte)

Answer 1

Zeige: Die   $m$ Unterräume sind paarweise unterschiedlich genau dann, wenn  $m = k$ gilt (Induktion und Dimensionsformel). Wenn nicht dann ist $m > k$ und du kannst $k$ paarweise unterschiedliche Unterrräume aus den $m$ auswählen.

Anmerkung: Dies soll erstmal nur ein Ansatz sein. Eigne Überlegungen sind weiterhin notwendig und erwünscht.

Gruß