Zeige, dass es k Indizes 1<= i1...,ik<= m ... gibt

Question

Es sei \( V \) ein Vektorraum über \( K \) mit \( \operatorname{dim} V=n \). Weiter seien \( W_{1}, \ldots, W_{m} \) Unterräume von \( V \) mit \( \operatorname{dim} W_{i}=n-1 \) für \( 1 \leq i \leq m \) und \( \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap \ldots \cap W_{m}\right)=n-k \) gegeben.

Zeige, dass es \( k \) Indizes \( 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq m \) mit \( W_{i_{1}} \cap \ldots \cap W_{i_{k}}=W_{1} \cap \ldots \cap W_{m} \) gibt. (4 Punkte)

Answer 1

Zeige: Die   \( m \) Unterräume sind paarweise unterschiedlich genau dann, wenn  \( m = k \) gilt (Induktion und Dimensionsformel). Wenn nicht dann ist \( m > k \) und du kannst \( k\) paarweise unterschiedliche Unterrräume aus den \(m\) auswählen.

Anmerkung: Dies soll erstmal nur ein Ansatz sein. Eigne Überlegungen sind weiterhin notwendig und erwünscht.

Gruß