Vektorraum Unterraum U,V

Question

Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, Zeigen Sie:

1) Ist U ein Unterraum von, dann gibt es einen Unterraum U´ von V mit V = U⊕U´.

Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht, könnten Sie mir da helfen und mir die Lösung verraten?

Answer 1

seien die Vektoren u1,...un eine Basis von U
dann lässt sich diese nach dem Basisergänzungssatz durch
v1,...,vm zu einer Basis von V ergänzen.
der von v1,...,vm erzeugte Unterraum ist U ' denn
jeder Vektor von v aus V läßt sich eindeutig durch die
Basisi v1,...,vn,u1,...um darstellen etwa so
a1v1+....+a_nv_n+b1u1+...+b_mu_m = v
also gibt es genau ein x aus U und y genau ein aus U ' mit x+y=v
[Das ist ja die definierende Eigenschaft der direkten Summe]
nämlich x=a1v1+....+a_nv_n  und y=b1u1+...+b_mu_m
und weil die Basisdarstellung eindeutig ist, ist auch die
Existenz der x und y eindeutig.