Bestimmung von Stetigkeitsstellen

Question

Bestimmen Sie die Stetigkeits-und die Unstetigkeitsstellen der Funktion
$$ g:] 0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} {0,} & {\text { falls } x \notin \mathbb{Q}} \\ {\frac{1}{q},} & {\text { falls } x=\frac{p}{q} \text { mit } p, q \in \mathbb{N} \text { teilerfremd }} \end{array}\right.\right. $$

wie kann ich die Stetigkeit zeigen?

Welche Funktion steckt dahinter, dann geht es leichter.

Danke

Answer 1

Ich glaube, die ist stetig für alle irrationalen x
Denn wenn x nicht aus Q, gibt es immer eine eine Folge von rationalen Zahlen, mit
immer größer werdenden Nennern, die gegen x konvergiert.
Die Funktionswerte sind dann immer die 1/q wobei q eben dieser Nenner ist, und die
geht gegen Null wie auch f(x) = 0 ist, also ist sie dort stetig.

ist andererseits x rational, so ist f(x) = 1/q  ungleich Null, aber zu jeder rationalen Zahl x,
gibt es eine Folge von irrationalen Zahlen die gegen x konvergiert. Die Folgenglieder
haben alle den Funktionswert o also auch GW 0, aber f(x) ungleich Null.

also nicht stetig bei x aus Q.