zu a:
Zunächst bestimmst Du die Seitenlängen b und c in Abhängigkeit von a:
aus dem Text erfährst Du, dass Länge (b) und Breite (a) im Verhältnis 2:1 stehen. Daraus ergibt sich direkt:
b = 2a
Nun wissen wir, dass das Volumen 500 Liter also 0,5m^3 betragen soll: wird stellen die Formel dafür auf und ersetzen b mit 2a:
0,5 = a*b*c -> 0,5 = a*2a*c = 2a^2*c
das stellen wir um und finden :
c= 1/(4a^2)
Nun können wir die Klebekanten als Funktion von a zusammenstellen. Laut Skizze benötigen wir 2 mal die Seite a, 2 mal die Seite b und 4 mal die Seite c, damit ist die Funktion mit unseren bisherigen Ergebnissen:
f(a) = 2a + 2b + 4c = 2a + 2*2a + 4 * 1/(4a^2) = 6a + 1/a^2 q.e.d.
zub:
Da wir nun eine Funktion haben, die uns Die Kantenlänge in Abhängigkeit von a bei Beibehaltung des Volumens ermittelt, können wir versuchen ein Minimum dieser Funktion zu finden, und das zugehörige a ermitteln:
f'(a)=0
f'(a) = 6 - 2/a^3 = 0 -> 6= 2/a^3 -> a^3=1/3 -> a ist rund 0,693 m
Wir prüfen nun, ob für dieses a tatsächlich ein Minimum vorliegt:
f''(0,693)= 8/0,693^4 ist größer Null und damit Minimum.
Die Kantenlängen werden also bei a=0,693 m minimal.
zuc:
Das benötigte Klebevolumen berechnen wir aus querschnittsfläche mal Kantenlänge. Die Querschnittsfläche bekommen wir aus dem Integral von -2 bis 2 über der gegebenen Funktion f(x):
$$\int_{-2}^{2} -\frac{1}{4}x^2+1 \quad dx = -\frac{3}{4}x^3+x \bigg \vert^{+2}_{-2}= -8 $$
Da uns nur der Betrag des Flächenintegrals interessiert halten wir für die Fläche den Wert 8 mm^2 fest.
Für die Klebstoffmenge ist dies nun mit der Klebekantenlänge zu multiplizieren ( achte auf die Einheiten):
V= 693 mm * 8 mm^2 = 5544 mm^3 = 5,544 cm^3
