Potenzreihe ist gleich Nullreihe

Question

Kann mir jemand helfen bitte ?

Es sei

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n$$

eine Potenzreihe, die für ein ε > 0 auf U(0,ε)  konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann c_n = 0 für alle n ∈ ℕ ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).

Answer 1

Vorausgesetzt, \(U(0,\epsilon\)) steht für das offene Intervall \((-\epsilon,\epsilon)\).
(1) Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Daher ist \(c_{2n}=0\).
(2) Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher ist \(c_{2n+1}=0\).
Aus (1) und (2) folgt die Behauptung.