Für welche Abbildung ( unten) ist es injektiv bzw. Surj.?

Question

Sei W ein 3 dimensionaler ℝ- Vektorraum, und sei

w_1, w₂, w₃ eine Basis von W und sei λ ∈ℝ. Sei φ: W→W eine lineare Abbildng, s.d.

φ(w1)= w1 + w2   , φ(w2)=w1 - w2  , φ(w3)= w1+λw3

Für welche λ ∈ℝ ist de Abbildung surjektiv? Oder injektiv?

Answer 1

Die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis \( (w_1, w_2,w_3) \) ist
$$ A=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 1 &-1 &0 \\1 & 0 & \lambda \end{pmatrix} $$
Die Abbildung ist injektiv gdw surjektiv gdw  A hat vollen Rang gdw det(A) nicht 0.

Comments

Det(A) hatten wir noch nicht :(

Wieso ist das nun injektiv/ surjektiv?

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Da steht doch extra noch eine andere Möglichkeit dabei:

A hat vollen Rang.

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Weil es einen vollen rang hat ist es injektiv und surjektiv?