Konvergenz zeigen und Grenzwert von Reihen berechnen

Question

Hier sind 2 Reihen wo ich eben die Konvergenz zeigen muss sowie den Grenzwert berechnen muss:

a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n}} \)

b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{3}{2^{2(n+1)}} \)

Answer 1

geo reihe war doch gut
(-1)^{n+1}    /    4^n ziehst du eine -1 aus der Summe raus und hast dann die Summanden
(-1/4)^n  das gibt mit der geo-reihen Formel     1 / ( 1 +1/4)    -  1 (weil die Reihe nicht mit n=0 beginnt
                                                                                = 4/5  - 1   = -1/5
und mit dem rausgezogenen Faktor also  1/5

Bei der 2. ziehst du die 3 raus und hast 1/ 2²⁽ⁿ⁺¹⁾    =  1/ 4ⁿ⁺¹  oder wenn die Summe wieder
mit 1 beginnt   (1/4)^n   also    1 /  (  1 - 1/4)   -1  = 1/3   mit dem Faktor 3 also  Summe gleich 1

Comments

hey,

danke erstmals, wie ziehe ich die -1 aus der Summe?

es gilt ja das Potenzgesetz also (-1)^{n+1} = (-1)^{n} *  (-1)^{1}

oder nicht? darf ich einfach die -1 aus der Summe rausziehen?

danke