Matrix, Determinante, Triangular Matrix, etc.

Question

1. (3.3)  Based on the three characterizing properties of the determinant show that

   1. (i)  if two columns of a matrix A are equal then det A = 0;

   2. (ii)  subtracting a multiple of one column from another column leaves the determi-

      nant unchanged.

   3. (iii)  Using the property of above show that the determinant of a triangular matrix

      equals the product of its diagonal elements, i.e. det A = a11a22 . . . ann.

i) ist die Lösung: We know that if B is obtained from A by exchangin two columns then det (A) = -det(B). If two colums of A are identical, then det (A) = - det (A) = det(A)) = 0

Verstehe diese Lösung überhaupt nicht. Was hat das exchaning colums damit zu tun? und warum ist det (A) = - det (A) wenn zwei spalten identisch sind. und wo hängen diese zwei aussagen zusammen??

ii und iii) verstehe ich überhaupt nicht.

Answer 1

1. (3.3)  Based on the three characterizing properties of the determinant show that

   1. (i)  if two columns of a matrix A are equal then det A = 0;

   2. (ii)  subtracting a multiple of one column from another column leaves the determi-

      nant unchanged.

   3. (iii)  Using the property of above show that the determinant of a triangular matrix

      equals the product of its diagonal elements, i.e. det A = a11a22 . . . ann.

i) ist die Lösung: We know that if B is obtained from A by exchangin two columns then det (A) = -det(B). If two colums of A are identical, then det (A) = - det (A) = det(A)) = 0


Verstehe diese Lösung überhaupt nicht. Was hat das exchaning colums damit zu tun?
Wenn zwei Spalten gleich sind, dann sieht nach dem     exchangin two columns
dieser beiden Spalten die Matrix genauso aus wie vorher. Wenn sie vorher A hieß,
dann ist sie hinterher also immer noch A. Deshalb kann man die Gleichung det (A) = -det(B)
auch als det (A) = -det(A) schreiben und durch | +det(A) hast du dann
   2* det(A) = 0 also det(A) = 0

 und warum ist det (A) = - det (A) wenn zwei spalten identisch sind. und wo hängen diese zwei aussagen zusammen??

Für den Rest bräuchte man die " three characterizing properties of the determinant"