Ursprungsgerden senkrecht

Question

Wie rechnet man?

Welche Ursprungsgerade schneidet das Schaubild f mit f(x)= -x³ +2x orthogonal ?

Danke

Answer 1

Es muss liegt vor:

f(x) = -x^3 + 2x

f'(x) = -3x^2 + 2

g(x) = mx

g'(x) = m

Es muss gelten:

-x^3 + 2x = mx    (Funktionen gleichsetzen)            (I)

(-3x^2+2)*m = -1 (Bedingung für Orthogonalität)  (II)

Aus (I):

-x^3 + 2x - mx = 0

-x(x^2-(2-m)) = 0

x₁ = 0 und x^2 = 2-m

Damit in (II)

Für x = 0: 2m = -1 -> m = -1/2

Für x^2 = 2-m: (-3(2-m)+2)*m = -1

Letzteres nach m auflösen (pq-Formel etc): m₁ = 1/3 und m₂ = 1

Aus x = 0 und m = -1/2 folgt: g(x) = -1/2*x schneidet die Funktion f an der Stelle x = 0 senkrecht.

Aus m = 1/3 folgt, dass g(x) = 1/3*x die Funktion f an zwei Stellen (nämlich bei x^2 = 2-1/3 = 5/3 --> x_2,3 = ±√(5/3)) schneidet.

Aus m = 1 folgt, dass g(x) = x die Funktion f an zwei Stellen (nämlich bei x^2 = 2-1 = 1 --> x_4,5 = ±1) senkrecht schneidet.

Grüße