Grenzwert von cos(1/x) für x gegen 0

Question

Existiert der folgende Grenzwert? Wenn ja, wie bestimme ich diesen (nicht mit dem Satz von L'Hopital):

\( \lim\limits_{x \to 0} \cos \left( \dfrac{1}{x} \right) \)

Graph:

~plot~ cos(1/x) ~plot~

Answer 1

Hi Albert,

nein, das funktioniert nicht. Das im Innern des Cosinus divergiert doch. Der Cosinus selbst schwankt dann immer zwischen -1 und 1. Wir haben also keinen Grenzwert.

Grüße

Comments

Könntest du mir bitte sagen, wie ich das formal hinschreiben soll, dass der Grenzwert nicht existiert?

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Uff, mit Formalien biste bei mir an der falschen Adresse :D.

Ich würde es wohl tatsächlich einfach in Worte fassen, dass der Cosinus sich zwischen den Werten -1 und 1 bewegt. Und deshalb keinen Grenzwert besitzt ;).

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Ok Ich werde aber mit deinen Antworten auf jeden Fall weiterkommen! Das ist die Hauptsache.:)

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Wenn der Limes existiert, so ist er gleich dem Limes Superior und Limes Inferior, d.h. die sind alle drei gleich. Einen so oder so ähnlich formulierten Satz hast du vielleicht schon mal gehört. Damit kannst du arbeiten, denn Limes Superior und Limes Inferior lassen sich hier recht leicht angeben und sind nicht gleich.

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Stimmt folgendes:

lim inf_x -->0 (cos(1/x)) = -1

lim sup_x -->0 (cos(1/x)) = +1

Da lim inf ≠ lim sup, so ist die Funktion divergent.

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So schauts aus