Die 1. Ableitung
f'(x) = x2 - 2x + 1
gibt ja gerade die Steigung der Funktion
f(x) = 1/3 * x3 - x2 + x + 5
an jeder beliebigen Stelle x bzw. in jedem beliebigen Punkt (x|f(x)) an.
Wir berechnen also mittels f'(x) zunächst, an welcher Stelle x die Ursprungsfunktion f(x) die gesuchte Steigung hat.
Da wir aber nicht nur die Stelle x wissen wollen, sondern auch das entsprechende y = f(x) und damit beide Koordinaten des Punktes, müssen wir jeweils das gefundene x noch in die Ursprungsfunktion einsetzen, um den y-Wert zu finden.
Kann man sich vielleicht an einem einfachen Beispiel
f(x) = x2, f'(x) = 2x
klar machen:
Wenn Du wissen willst, an welcher Stelle f(x) = x2 die Steigung 2 hat, schaust Du auf die Ableitung und siehst, dass diese an der Stelle 1 den Wert 2 hat; also x = 1. Nun brauchen wir aber auch noch y, setzen also x = 1 in
f(x) ein: f(1) = 12 = 1.
Der Punkt auf f(x) = x2 mit der Steigung 2 lautet also (1|1).
Klaro?