Grenzwert mit L'Hospital berechnen

Question

Wie berechnet man die Grenzwert für so ein Ausdruck?

\( \lim \limits_{x \nearrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan (x)} \)

Answer 1

es ist sin(x)^tan(x) = e^{tan(x)*ln(sin(x)} 

und für x gegen pi/2 ist der GW von tan(x)*ln(sin(x) vom Typ  unednlich mal 0

und damit man den Satz von d' Hospital anwenden kann, schreibt man besser

ln(sin(x)  /   ( 1 / tan(x))   Das ist jetzt vom Typ 0/0

also Ableitung von Zähler und Nenner bilden

( (1 / sin(x) ) * cos(x)   )  /    (  -1/ sin^2(x))  =   -1*sin(x)*cos(x)

für x gegen pi/2 hat dies den GW 0 und weil die exp.fkt stetig ist

ist der gesuchte GW von e^{tan(x)*ln(sin(x)}    eben  e^0 = 1

Answer 2

verwende $$ \sin(x)^{\tan(x)} = e^{\tan(x) \ln(\sin(x))} $$

und schau dir den Exponenten an.

Gruß