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Ich soll zeigen, dass

$$ \sum { { \left( \frac { n }{ { 2 }^{ n } }  \right)  }_{ n=0 }^{ \infty  } }  $$

konvergiert und dass

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } }  } = 2 $$

Dazu soll ich zunächst beweisen:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } }  } +\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } }  } =\quad 2\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } }  }  $$

Ich habe also das Wurzelkriterium auf $$ { \frac { n }{ { 2 }^{ n } }  } $$ angewendet und habe als Ergebnis $$ \frac { 1 }{ 2 }  $$ < 1 bekommen, also ist die Reihe konvergent.

Nun besteht aber das Problem mit dem Grenzwert. Wie berechne ich den Grenzwert der Reihe n/(2^n) ?

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1 Antwort

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da gibt es sicher verschiedene Ansätze. Z.B. kann man per Induktion über \(N\) zeigen, dass für die \(N\)-ten Partialsummen der Reihe gilt \(\sum\limits_{n=0}^N\dfrac n{2^n}=2-\dfrac{N+2}{2^N}.\)
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