Ich soll zeigen, dass
$$ \sum { { \left( \frac { n }{ { 2 }^{ n } } \right) }_{ n=0 }^{ \infty } } $$
konvergiert und dass
$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } = 2 $$
Dazu soll ich zunächst beweisen:
$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } } =\quad 2\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } $$
Ich habe also das Wurzelkriterium auf $$ { \frac { n }{ { 2 }^{ n } } } $$ angewendet und habe als Ergebnis $$ \frac { 1 }{ 2 } $$ < 1 bekommen, also ist die Reihe konvergent.
Nun besteht aber das Problem mit dem Grenzwert. Wie berechne ich den Grenzwert der Reihe n/(2^n) ?
